Как построить линии влияния? Строительная механика основывается на кинематическом способе Лагранжа. Его основная суть заключается в том, что в системе, которая находится в состоянии полного равновесия, результирующая всех сил на незначительных перемещениях равна нулю.

Специфичность метода

Чтобы построить линии влияния реакции, изгибающего момента, поперечной силы для заданного сечения балки, используется определенный алгоритм действий. Для начала удаляют связь. Кроме того, убирают линии влияния внутреннего усилия, вводят необходимое усилие. В результате подобных манипуляций заданная система будет механизмом, обладающим одной степенью свободы. В том направлении, где рассматривается внутреннее усилие, вводят незначительное перемещение. Его направление должно быть аналогично внутреннему усилию, только в таком случае будет совершаться положительная работа.

Примеры построений

На основе принципа перемещений записывают уравнение равновесия, при его решении вычисляют линии влияния, определяют необходимое усилие.

Рассмотрим пример таких расчетов. Строим линии влияния поперечной силы в некотором сечении А. Чтобы справиться с поставленной задачей, необходимо построить эпюру перемещений данной балки от одинарного перемещения в направлении убранной силы.

Формула для определения усилий

Построение линий влияния осуществляется с применением специальной формулы. Она связывает искомое усилие, величину сосредоточенной силы, которая действует на балку, с площадью фигуры, образованной линией влияния и осью эпюры под нагрузкой. А также с показателем изгибающего момента и тангенса угла линии влияния усилий и нейтральной осью.

Если направление распределительной нагрузки и сосредоточенной силы совпадают с направлением подвижной единичной силы, они имеют положительное значение.

Изгибающий момент будет положительной величиной в том случае, когда его направление совпадает с движением часовой стрелки. Тангенс будет положительным при значении угла поворота менее прямого угла. При проведении вычислений используют со своими знаками величину ординат и площади линии влияния. Строительная механика основывается на статистическом методе построения эпюр.

Определения

Приведем основные определения, которые необходимы для выполнения качественных чертежей и расчетов. Линия влияния - это линия, которая связывает внутреннее усилие и перемещение единичной подвижной силы.

Ординаты демонстрируют изменение анализируемого внутреннего усилия, появляющегося в определенной точке на балке при передвижении по длине единичной силы. Они показывают изменение в разных точках рассматриваемого внутреннего усилия при условии использования внешней неподвижной нагрузки. Статистический вариант построение базируется на записи уравнений равновесия.

Два варианта построения

Построение линий влияния в балках и изгибающего момента возможно в двух случаях. Сила может располагаться справа или слева относительно используемого сечения. При левом расположении от сечения силы при проведении расчетов выбирают силы, которые будут действовать правее. При ее правом действии считают по левым силам.

Многопролетные балки

В мостах, к примеру, при передаче внешней нагрузки на несущую часть всей строительной конструкции используются вспомогательные балки. Главной балкой называют ту, что является несущей основой. Поперечными считают балки, располагающиеся к главной под прямым углом.

Вспомогательными (однопролетными) именуют балки, к которым и прилагается внешняя нагрузка. Такой вариант передачи на основную балку нагрузки считается узловым. Панелью считают участок, расположенный между двумя ближайшими узлами. А они представлены в виде точек главной оси, к которым подходят поперечные балки.

Особенности

Что собой представляет линия влияния? Определение данного термина в балке связано с графиком, который показывает изменение анализируемого фактора при передвижении единичной силы по балке. В его качестве может выступать поперечная сила, изгибающий момент, опорная реакция. Любая ордината линий влияния демонстрирует размер анализируемого фактора в тот момент времени, когда сила располагается над ней. Как построить линии влияния балки? Основывается статистический способ на составлении уравнений статистики. Например, для простой балки, находящейся на двух шарнирных опорах, характерна сила, передвигающаяся по балке. Если выбрать определенное расстояние, на котором она функционирует, можно построить линии влияния реакции, составить уравнение моментов, построить по двум точка график.

Кинематографический способ

Может быть на основе перемещений построена линия влияния. Примеры таких графиков можно найти в тех случаях, когда изображают балку без опоры, чтобы механизм мог перемещаться в положительном направлении.

Для построения линии влияния определенного изгибающего момента необходимо врезать в имеющееся сечение шарнир. В таком случае полученный механизм будет поворачиваться на единичный угол в положительном направлении.

Построение линии влияния при поперечной силе возможно при врезке в сечение ползуна и раздвигании балки на единицу в положительном направлении.

Можно с помощью кинематографического способа построить линии изгибающего момента и поперечной силы в консольной балке. С учетом неподвижности левой части в подобной балке рассматривается движение только для правой части в положительном направлении. Благодаря линиям влияния по формуле можно рассчитать любые усилия.

Расчеты при кинематографическом способе

При расчетах по кинематическому способу используют формулу, связывающую число опорных стержней, количество пролетов, шарниров, степени свободы поставленной задачи. Если при подстановке заданных значений свободы будет равно нулю, статистически задачу можно определить. Если данный показатель будет иметь отрицательное значение, задача статистически невыполнима, при положительной величине степеней свободы выполняется геометрическое построение.

Для того чтобы было удобнее проводить расчеты, иметь наглядное представление об особенностях работы дисков в многопролетной балке, строят поэтажную схему.

Для этого меняют на шарнирно-неподвижные опоры все исходные шарниры, имеющиеся в балке.

Разновидности балок

Предполагается несколько типов многопролетных балок. Специфичность первого типа состоит в том, что во всех пролетах, за исключением первого, используются шарнирно-подвижные опоры. Если вместо шарниров использовать опоры, будут образовываться однопролетные балки, в которых каждая будет опираться на консоль рядом стоящей.

Для второго типа характерно чередование пролетов, которые обладают двумя шарнирно-подвижными опорами, с пролетами без опор. В таком случае поэтажная схема на консоли центральных балок базируется на балках-вставках.

Кроме того, существуют и такие балки, в которых совмещаются два предыдущих типа. Чтобы обеспечить статистическую определимость балок-вставок, переносят между опорой на правую соседнюю балку. Нижний этаж в поэтажной схеме будет представлен основной балкой, а второстепенные балки применяют для верхнего этажа.

Эпюры внутренних силовых факторов

С помощью поэтапной схемы можно выполнять построение эпюры для отдельной балки начиная с верхнего этажа и завершая нижними построениями. После того как будут завершены построения силовых внутренних факторов для верхнего этажа, нужно поменять все найденные значения реакции опор на противоположные по направлению силы, затем приложить их в поэтажной схеме к нижнему этажу. При построении на нем эпюр пользуются заданной нагрузкой сил.

После завершения построения эпюр силовых внутренних факторов осуществляется статистическая проверка полной многопролетной балки. При проверке должно выполняться условие, согласно которому сумма всех реакций опор и заданных сил равна нулю. Также важно провести анализ соблюдения дифференциальной зависимости для отдельных участков используемой балки.

В графике, который выражает закон изменения либо силового внутреннего фактора в конкретном (заданном) сечении здания, функции от расположения передвигающегося отдельного груза называют линией влияния. Чтобы построить их применяют уравнение статистики.

Для определения силовых внутренних факторов вычисления реакций опор по определенным линиям влияния используются графические построения.

Значение вычислений

В широком значении строительная механика рассматривается в качестве науки, которая занимается разработкой методов расчета и принципов проверки конструкций и сооружений на устойчивость, прочность, а также на жесткость. Благодаря качественным и своевременным расчетам на прочность можно гарантировать безопасность работы возведенных сооружений, полную стойкость их к внутренним и внешним усилиям.

Для достижения желаемого результата применяется сочетание экономичности и долговечности.

Расчеты на устойчивость позволяют выявлять критические показатели внешних воздействий, гарантирующие сохранность заданной формы равновесия и положения в деформированном состоянии.

Расчеты на жесткость заключаются в выявлении разнообразных вариантов деформаций (осадок, прогибов, вибраций), из-за которых исключается полноценная эксплуатация сооружений, возникает угроза прочности конструкций.

Для того чтобы не возникало аварийных ситуаций, важно проводить подобные вычисления, анализировать соответствие полученных показателей предельно допустимым значениям.

В настоящее время строительная механика применяет огромное количество разнообразных надежных методик расчетов, которые прошли детальные испытания строительной и инженерной практикой.

Учитывая постоянную модернизацию и развитие строительной отрасли, включая и ее теоретическую базу, можно вести речь о применении новых надежных и качественных способов построения чертежей.

В узком понимании строительная механика связана с теоретическими расчетами стержней, брусьев, которые образуют сооружение. В качестве базы для строительной механики выступают фундаментальная физика, математика, экспериментальные исследования.

Расчетные схемы, которые применяются в строительной механике для каменных, железобетонных, деревянных, металлических конструкций, позволяют избегать недоразумений во время возведения зданий и сооружений. Только при правильном предварительном построении чертежей можно вести речь о безопасности и надежности создаваемых сооружений. Построение линий влияния в балках является довольно серьезным и ответственным мероприятием, ведь от точности действий зависит жизнь людей.

Изучение способа аналитического расчета многопролетных статически определимых балок на неподвижную нагрузку показало, что основной задачей расчета является определение расчетных уси­лий M max и Q max . Эта задача решается путем построения эпюр М и Q от заданной неподвижной нагрузки.

В то же время большое число инженерных сооружений, несущей частью которых являются сварные металлические конструкции, в том числе и балки, работают при воздействии подвижных нагрузок. Это железнодорожные и автодорожные мосты, подкрановые бал­ки и мосты кранов и др. Определить в этом случае расчетные усилия с помощью эпюр М и Q практически невозможно. Поэтому расчет на подвижную нагрузку производится иным способом.

Расчет сооружения на подвижную нагрузку в значительной степени об­легчается возможностью применения принципа независимости действия сил, сущность которого заключается в том, что внутренние усилия, напря­жения и деформации, вызванные воздействием на сооружение различных нагрузок, можно суммировать.

Если, например, на сооружение одновременно действуют две группы сил, то возникающее при этом усилие в любом элементе сооружения будет равно сумме усилий, возникающих в нем при действии каждой группы сил в отдельности. Исследование действия на сооружение подвижной нагрузки нач­нем с рассмотрения наиболее простого случая, когда по сооружению движется только один вертикальный груз Р, равный единице (рис. 3.14). Исследуем, как меняется тот или иной фактор (например, опорная реакция, изгибающий момент в определенном сечении балки, прогиб балки в данной точке и т. п.) при перемещении груза Р = 1 по сооружению. Установленный при этом закон изменения изучаемого фактора в зависи­мости от положения перемещающегося груза Р = 1 будем изображать графически.

График, изображающий закон изменения какого-либо силового фактора (напри­мер, изгибающего момента в сечении) при передвижении по сооружению силы Р = 1 , называется линией влияния этого фактора.

Понятие о линиях влияния. Очевидно, что величина любого усилия в элементах несущих конструкций зависит от положения внеш­ней подвижной нагрузки. Например, в однопролетной балке на двух опорах (рис, 3.14) величина опорной реакции R A будет тем больше, чем ближе к опоре находится подвижный груз Р , и наоборот, R A тем меньше, чем дальше от опоры А находится подвижный груз Р .

График, выражающий закон изменения усилий (опорных реакций, изгибающих моментов, поперечных сил в заданном сечении балки) в зависимости от положения на балке подвижного единичного груза Р = 1 , называется линией влияния.

Рассмотрим порядок построения линий влияния опорных реакций однопролетных балок.

Однопролетная статически определимая балка АВ (рис. 3.14 а ). Нагрузка на балку - подвижный единичный груз Р = 1 . Определим величину опорной реакции R A в зависимости от положения Р = 1 (в текущих координатах).

∑М В = 0; R A · L - P (L - X) = 0; R A = (L - X)/L. (3.12)

Уравнение (3.12) это уравнение прямой линии. Определим ее положение в координатах X – Y.

При Х = 0,75L R A = 0,25P , при Х = 0,5L R A = 0,5P., При Х =0,25L R A = 0,75Р , что и представлено в левой части рис. 3.14.

Рис. 3.14. Анализ изменения опорных реакций R A и R B в зависимости от положения единичного груза Р = 1 c построением графиков линий влияния опорных реакций R A (б ) и R B (в ) в зависимости от положения единичного груза при Р = 1

Отложим на левой опоре (Х = 0 ) ординату, равную + 1, в произволь­ном масштабе, на правой опоре (Х = L ) - ординату, равную нулю. Найденные две точки определяют положение прямой, которая и является линией влияния опорной реакции R A (рис. 3.14 б ). С помощью полученного графика можно определить величину опорной реакции при любом положении груза Р = 1 . Для этого достаточно измерить ординату под грузом. Эта ордината (в принятом масштабе) будет равна опорной реакции R A при данном положении Р = 1 . Линия влияния изображена на рис 3.14 в .

Рассмотрим на примере использование линии влияния для практических целей. Однопролетная балка АВ (рис. 3.15) нагружена тремя неподвижными сосредоточенными силами.

Рис. 3.15. Использование линии влияния для определения опорной реакции R A

С помощью линии влияния определим величину R A от действия данной нагрузки. Для этого воспользуемся одним из следствий принципа независи­мости действия сил: результаты воздействия на сооружение различных нагрузок можно суммировать. На основании этого

R A = P 1 · y 1 + P 2 · y 2 + P 3 · y 3 = 8 · 0,75 + 6 · 0,5 + 8 · 0,125 = 10 т (3.13) Рассмотрим порядок построения линии влияния изгибающего момента в произвольно выбранном сечении балки.

Статически определимая балка на двух oпорах АВ (рис. 3.16 а ). Найдем изгибающий момент в сечении I - I , которое находится на расстоянии а от левой опоры. Если подвижный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения (рис. 3.16 а ), то изгибающий момент в сечении равен

М 1 = R A · а = а · (L - X)/ L. (3.14)

График уравнения (3.14) также прямая, которая и является линиейвлияния изгибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 в ). Но это не вся линия влияния, а только ее правая ветвь. Она действительна от опоры В до сечения, так как уравнение (3.14) состав­лено при условии, что груз Р=1 находится на этой (правой) части балки. Переместим груз Р = 1 на часть балки слеваот сечения I - I . Тогда момент в сечении I - I равен

М 1 = R B · b. (3.15)

Рис 3.16. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении I - I

Строим график уравнения (3.15). На правой опоре откладываем орди­нату, равную отрезку, в . Прямая, соединяющая точки с ординатой в на правой опоре и с ординатой, равной нулю, налевой опоре, является линией влияния момента в сечении I - I . Но, как теперь понятно, это также не вся линия влияния, а ее левая ветвь (рис. 3.16 в ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния из­гибающего момента в сечении I - I (рис. 3.16 г ). Размерность ординат линии влияния изгибающего момента - метры (сантиметры).

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. Линия влияния М 1 по очертанию подобна эпюре изгибающих моментов от действия сосредоточенной силы. Но это сходство толь­ко внешнее. Между эпюрой изгибающих моментов и линией влияния изгибающего момента имеется принципиальная разница. Если эпюра моментов - это график распределения моментов во всех сечениях балки от неподвижной определенной нагрузки, то линия влияния момента - это график величин моментов в одном определенном сечении балки в зависимости от положения подвижного единичного груза Р = 1 .

Рассмотрим построение линии влияния поперечной силы.

Рис. 3.17. Построение линии влияния поперечной силы Q

Статически определимая балка на двух опорах АВ (рис. 3.17). Построим линию влияний поперечной силы Q I для сечения I - I , находящегося на расстоянии a левой опоры. Если подвиж­ный единичный груз Р = 1 находится справа от сечения I - I, то величина поперечной силы в сечении равна

Q I = + R A . (3.16)

Напомним, что правило определения знаков поперечных сил в сечении рассмотрено выше (раздел 3.3.3, рис. 3.13).

Из уравнения (3.16) следует, что поперечная сила Q I и опорная реакция R A в зависимости от положения подвижного единично­го груза Р = 1 изменяются по одному и тому же закону. Следовательно, линия влияния R A будет также правой ветвью линии влияния Q I (рис. 3.17 а ).

Переместим груз Р =1 на часть балки слева от сечения I - I. Тогда

Q I = - R В. (3.17)

Из уравнения (2.17) следует, что линия влияния R В (с обратным знаком) будет также левой ветвью линии влиянияQ I (рис. 3.17 б ). Объединив обе ветви, получим полную линию влияния поперечной силы в сечении I - I (л.вл. Q I ) (рис 3.17 в ).

Рассмотрим построение линий влияния для однопролетных балок с консолями (рис. 3.18).

Рис 3.18. Балка АВ с линиями влияния R A , , R B , M и Q в сечении I – I между опорами

Построение линий влияния опорных реакций, изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся в пределах основного пролета АВ , производится по тем же правилам, что и для балки без консолей.

Величина опорной реакции R A в текущих координатах опре­деляется по формуле (3.12), приведенной выше.

R A = (L - X)/L,

Формула (3.12) справедлива при всех положениях груза Р = 1 , включая консоли (рис. 3.18 а ). Построение линии влияний опорной реакции R A : соединяем прямой две точки - первую с ординатой, равной + 1 , на левойопоре, и вторую с ординатой, равной нулю, на правой опоре. Затем продолжаем прямую до концов консолей. В пределах правойконсоли ординаты отрицательные. Это означает, что R A направлена вниз, когда груз Р = 1 находится в пределах этой консоли.

Линию влияния момента в сечении I-I построим как для обычной балки, но левую и правую ветви продолжим до концов консолей (рис. 3.18 в ). В пределах консолей ординаты линии влияния отрицатель­ны. Это означает, что момент всечении I - I отрицателен, когда груз Р = 1 находится на консолях.

При построении линии влияния поперечной силы в сечении I - I правую и левую ветви необходимо продолжить до конца консолей (рис. 3.18, г ).

Построение линий влияния изгибающего момента и поперечной силы для сечений, находящихся на консолях, производится по иным правилам (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Линии влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II для сечений I – I и II – II на консолях балки

Линия влияния изгибающего момента в сечении I - I будет только в пределах от сечения I - I до конца консоли. Представляется очевидным, что когда груз Р = 1 находится слева от сечения I - I , сечение не работает, в нем нет изгибающего момента (и поперечной силы).

Поэтому ординаты линии влияния М 1 слева от сечения I - I равны нулю. Величина изгибающего момента в сечении I - I в текущих координатах (рис. 3.19 а ), равна

М 1 = -Р · Х = -Х

Когда груз Р = 1 находится над сечением (Х = 0 ), М 1 = 0 , когда груз находится на краю консоли (Х = d ), М 1 = -d . Линия влияния М 1 и М 1 I приведены на рис. 2.19 б ; линии влияния Q I и Q II - на рис. 3.19 в . (Знаки ординат линий влияния изгибающих моментов М 1 и М 1 I и поперечных сил Q I и Q II определены всоответствии со схемами, показанными на рис. 3.13).

Рассмотрим построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок.

Построение линий влияния для многопролетных статически определимых балок базируется на тех же закономерностях, которые используются при исследовании однопролетных балок.

Рассмотрим балку А-Н (рис. 3.20 а ). Балка статически определима и геометрически неизменяема. Составим схему взаимодействия (рис. 3.20 б ), которая помогает определить основные и вспомогательные элементы.

При построении линий влияния следует руководствоваться следующими правилами:

а) линии влияния для второстепенного элемента не отличаются по правилам построения от линий влияния для обычной однопролетной балки и не выходят за пределы элемента;

б) при построении линий влияния для основного элемента сначала строим ее, не обращая внимания на второстепенные элементы, как для обычной однопролетной балки, а затем учитываем их воз­действие (второстепенных элементов).

Рассмотрим построение линий влияния на примере для балки А-Н (рис. 3.20 а ).

Линии влияния опорных реакций R A и R В (рис. 3.20 в, г ), строим сначала в пределах основного элемента ABC, как для обычной балки с консолями. Когда груз Р = 1 перейдет на второстепенный элемент СД , его воздействие на величину опорных реакций R A и R В начнет уменьшаться и станет равным нулю при положении груза в точке Д . Соответственно равным нулю при этом положении груза Р = 1 станут и величины опорных реакций R A и R В. Правее шарнира Д ординаты линий влияния R A и R В равны нулю, так как при положении груза Р = 1 правее шарнира Д он не оказывает никакого воздействия на эти опорные реакции.

Линии влияния М 1 II и Q 1 II для сечения III - III , находящегося на второстепенной балке СД , не отличаются от линий влияния для обычной однопролетной балки (рис. 3.20 д ).

Линии влияния М 1 и Q 1 для сечения I - I , находящегося впределах основного пролета основного элемента ABC , строим, придерживаясь правил, примененных при построении линий влияния R A и R В (рис. 3.20 е ).

Линии влияния М 1 I и Q 1 I для сечения II - II , находящегося на консольной части основного элемента ABC , строим сначала как для обычной балки, затем учитываем воздействие второстепенного элемента СД . Когда груз Р = 1 достигнет шарнира Д , его воздействие через элемент СД на величину М 1 I и Q 1 I прекратится (рис.3.20 ж ).

Линии влияния R Е, М 1 V и Q 1 V подобны по построению линиям влияния соответственно R A , М 1 и Q 1 , так как элемент ДЕFG также является основным. Только на величину R Е, М 1 V и Q 1 V помимо второстепенного элемента СД оказывает воздействие второй второстепенный элемент GH (рис. 3.20 з, и, к ).

Линия влияния М V подобна по построению линии влияния М 1 I , а линия влияния М 1 V - соответственно линии влияния М 1 II (рис. 3.20 л, м ).

Правильность построения линий влияния можно проверить статическим способом. Для этого, располагая груз Р = 1 в произволь­но выбранных сечениях на балке, необходимо составить и решить соответствующие уравнения статики (по методике, рассмотренной в разделе 3.3.3).

Рис. 3.20. Построение линий влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил для многопролетной балки в сечениях I, II, III, IV, V и VI

Внутренние и внешние (опоры) связи

Связи в расчетных схемах инженерных конструкций строительной механики, которые соединяют друг с другом отдельные ее части (стержни, пластины и т.д.) называются внутренними .

Виды внутренних связей:

2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;

3) составить уравнения равновесия;

4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N ;

5) построить эпюры M, Q, N по найденным значениям внутренних усилий.
Метод совместных сечений

Данный метод применяется при расчете составных систем.

Например, при расчете трехдисковой рамы (рис. 2, а) проводятся три совместных сечения I, II, III . В точках рассечения междисковых связей появляются 9 реакций (рис. 2, б): реакции в опорах R 1 , R 2 , H и реакции X 1 , X 2 , X 3 ,Y 1 , Y 2 , Y 3 . Величины данных реакций определяются посредством составления уравнений равновесия.

Рисунок 2. Метод совметсных сечений

1) провести через несколько точкек для рассматриваемой системы разрезы, деля данную конструкцию на составные части;

2) отметить возникшие реакции в рассеченных связях;

3) для каждой полученной составной части диска составить уравнения равновесия;

5) построить эпюры для каждой составной части заданной конструкции;

6) построить совместные эпюры для всей системы.

Метод вырезания узла

Данный метод применяется при расчете внутренних усилий в простых системах.

Алгоритм расчета данным методом:

1) можно вырезать узел только с двумя стержнями , сходящимися в нем, внутренние усилия в которых неизвестны;

2) продольные силы, действующие в узле, проецируются на соответствующие оси (для плоской системы x и y);

3) решая составленные уравнения, определяют неизвестные внутренние усилия.

Метод замены связей

Данный метод применяется при определении внутренних усилий в сложных статически определимых систем, для расчета которых использовать выше перечисленные способы трудно.

Алгоритм расчета данным методом:

1) сложная система преобразуется в более простую посредством перемещения связей;

2) из условия равенства изначально заданной и заменяющей систем определяется внутреннее усилие в переставленной связи;

3) полученная система рассчитывается одним из выше описанных способов.

Примеры задач с решениями.
С. Задача 1

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Подробнее: С. Задача 2

С. Задача 3

Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 3

С. Задача 4

Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 4

Примеры с решениями.

С. Задача 1

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Однопролетная балка

1) Определяем реакции в опорах:

Т.к., значение реакции R A получилось отрицательным, то меняем ее направление на расчетной схеме (новое направление обозначаем пунктирной линией), учитывая в дальнейшем новое направление и положительное значение этой реакции.

Проверка:

2) Строим эпюру изгибающих моментов М (построение эпюры ведется с любого "свободного" конца балки):

Q . Производим построение эпюры поперечных сил ( Q ), используя формулу Журавского:

где М пр, М лев – ординаты изгибающего момента на правом и левом концах рассматриваемого участка балки;

l – длина рассматриваемого участка балки;

Q – величина распределенной нагрузки на рассматриваемом участке.

Знак «±» в формуле ставится в соответствии с правилом знаков поперечных сил , рассмотренным выше (рисунок 1).

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для составной рамы.

Разделяем составную раму на две части: вспомогательную и основную (статически определимую и геометрически неизменяемую ).

Расчет начинаем со вспомогательной рамы.

Составная рама

Вспомогательная часть рамы

1) Определяем реакции в опорах:

Проверка:

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

3) Строим эпюру поперечных сил Q :

Эпюры внутренних усилий для вспомогательной рамы

4) Строим эпюру продольных сил N :

Рассматриваем узел G :

Вырезание узла для

При расчете строительных конструкций нередко приходится иметь дело с нагрузками, которые могут занимать на ней разные положения. Например, это может быть тележка крана на подкрановой балке, нагрузка проходящего поезда или скопления людей на ферме моста и т.п. Все эти нагрузки представляют собой, как правило, систему сосредоточенных вертикальных грузов с фиксированным расстоянием друг от друга. Предполагается, что нагрузки лишь изменяют свое положение, но не создают динамического эффекта.

Линией влияния (л.в.) какого-либо расчетного усилия (опорной реакции, изгибающего момента или поперечной силы) в заданном сечении балки называют график, отражающий закон изменения этого усилия в зависимости от положения на балке груза F = 1.

Линии влияния позволяют легко определить усилия в сечении, для которого они построены от любых нагрузок в произвольной комбинации.

Проще всего построение л.в. можно осуществить, используя статический способ. Он состоит в том, что из уравнений равновесия находят формулу (закон) изменения усилия в рассматриваемом сечении, для которого строится л.в., при любом положении груза F= 1 . Положение груза определяется в произвольно выбранной системе координат. В балках за начало отсчете принимают обычно левую опору А.

Л.в. опорных реакций V A и V B балки с консолями (рис.2.5).

Из уравнений равновесия можно получить формулы для V A иV В:

Уравнение л.в. V A 0;V А . l - 1(l -x)= 0V А =

Уравнение л.в.V в
0; -V B . l + 1 . x=0V B =

Каждое из этих уравнений - это уравнение прямой линии (xв первой степени). Графики можно построить, определив опорные реакции в двух точках

при x=0V A = 1,V B =0,

при x=lV A = 0,V B =1.

Положительный знак означает, что соответствующая реакция направлена вверх. При положении груза F=1 на дальней от опоры консоли опорная реакция меняет знак, так как направлена вниз.

Чтобы сразу оценить полезность таких графиков, зададимся вопросом, что будет, если на балке в каком то месте стоит не единичный груз, а сосредоточенная сила, например, мешок с цементом 0,5 кн.? Нужно умножить эту силу на ординату линии влияния (например, л.в.V A) под нагрузкой и сразу, без составления уравнений равновесия получить значение опорной реакцииV A .

Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в каком либо сечении балки получают аналогично. Они функционально связаны с линиями влияния

опорных реакций.

Линия влияния изгибающего момента М к 1 в сечении к 1 ,расположенного в пролете балки (рис.2.6).

Рассматривают два случая расположения единичного груза: левее заданного сечения к 1 и правее него. Выражение для момента М к1 получают из уравнения равновесия.Составляют уравнение для той части балки, на которой грузF=1 отсутствует.

1.Пусть груз F=1 расположен левее сечения к 1 .Рассматривая равновесии правой части балки получим: М к1 =
=b . Эта формула определяет левую ветвь л.в. М к1 от сечений к 1 до конца левой консоли

2. Пусть груз F=1 расположен правее сечения к 1 . Тогда М к1 =
=a . Эта формула определяет правую ветвь л.в. М к1 .

Таким образом, ординаты правой ветви равны увеличенным в а раз ординатам линии влияния опорной реакцииV А, а ординаты левой ветви – ординатам л.в.V B , увеличенным вb раз. Левая и правая ветви пересекаются над сечением к 1 .(рис. 2.6).

Каждая ордината этого графика дает значение изгибающего момента в сечении к 1 , когда грузF=1 располагается на балке в месте, соответствующем этой ординате. Отличие от эпюры моментов состоит и в том, что положительные ординаты откладываются над осью балки.

Итак, построение л.в. изгибающего момента в заданном сечении к двухопорной балки сводится к следующему простому алгоритму:

На левой опоре вверх откладывают отрезок, равный расстоянию от этой опоры до сечения. Этот отрезок можно откладывать в любом удобном масштабе.

Конец отрезка соединяют с правой опорой

На полученную прямую сносят сечение. На рис. 2.6 эта точка показана звездочкой.

Точку пересечения соединяют с левой опорой.

Линия влияния поперечной силы Q к1 (ри2.7)

Опираясь на определение поперечной силы в балках, как проекции всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения на нормаль к оси балки, нетрудно получить формулы для левой и правой ветвей л.в.Q л1 .

1. Груз F=1 левее сеченияк 1 : Q к1 = -(V В)=-левая ветвь,

2. Груз F=1 правее сечения к 1: Q к1 =V А =- правая ветвь.

Порядок построения л.в. поперечной силы для сечения к сводится к следующим действиям:

На левой опоре вверх откладывают отрезок равный единице (рис.2.7)

на правой опоре вниз откладывают отрезок равный единице.

Соединяют концы отрезков с противоположными опорами.

На полученный параллелограмм сносят сечение.

Если у балки есть консольные участки, то правую ветвь л.в. продолжают по прямой до конца правой консоли, а левую ветвь - до конца левой консоли

Линии влияния момента и поперечной сил для сечения к 2, расположенного на консольной части балки (рис.2.8), легче всего строить, опираясь лишь на определения изгибающего момента и поперечной силы в балке.

Рассмотрим, например, сечение к1 на правой консоли.

Будем задавать положение груза F=1 координатой x с началом отсчета в сечении к 2 , направляя ось вправо (см. рис.2.5)

Линия влияния М к1 . .

1. Груз F=1 левее сечения к 2: М к2 =0 (Рассматривая правую ненагруженную часть консоли устанавливаем на основании определения момента, что М к2 =0)

2.Груз F=1 правее сечения к 2: М к2 =-1 . x .

Линия влияния М к2 показана на рис.2.8

Линия влияния Q к2 (рис.2.9)

1. Груз F=1 левее сечения к 2: Q к2 =0

2. Груз F=1 правее сечения к 2: Q к2 =1

Cравнивая эпюры изгибающих моментов М и поперечных силQcлиниями влияния М иQ, следует отметить, что они принципиально различны.

Ординаты эпюр усилий характеризуют напряженное состояние всей системы, в любом сечении от одной конкретной заданной нагрузки. При другом положении нагрузки расчет нужно проводить заново и строить новые эпюры.

Ординаты линии влияния, наоборот, характеризуют величину и изменение усилия в одном сечении, для которого построена эта линия влияния, в зависимости от положения единичной силы.

Определение усилий по линиям влияния. Загружение линий влияния.

Ординаты различных линий влияния имеют разную размерность. Действительно, чтобы получить по линии влияния опорную реакцию или поперечную силу, нужно умножить эту силу на ординату л.в. под силой и не забыть о ее знаке этой ординаты. Отсюда следует, что ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил безразмерны. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют размерность длины.

Линии влияния, построенные от единичного вертикального груза, позволяют найти соответствующее усилие от любой реальной нагрузки, действующей на балку.

Рассмотрим три самые распространенные случая нагружения.

1.Влияние неподвижной цепочки сосредоточенных грузов (рис.2.10).

Применяя принцип независимости действия сил, можно выразить влияние всех сил, как сумму влияний каждой из них в отдельности. На рис. 2.10 показан участок какой то линии влияния усилияS(это может быть опорная реакция, момент или поперечная сила). Влияние каждой силы определяется произведением этой силы на ординату л.в. в месте ее приложения. Влияние цепочки сил может быть представлено в виде суммы

S = F 1 y 1 + F 2 y 2 + …+F n y n =
(1.2)

Следовательно, надо сосредоточенные внешние нагрузки умножить на ординаты л.в., расположенные под этими нагрузками (со своим знаком!) и результаты сложить,

2. Влияние неподвижной равномерно распределенной нагрузки, интенсивностью q(рис.2.11).э

Рис.2.11

Распределенную нагрузку на участке л.в., отмеченной на рисункеab, можно представить как цепочку сосредоточенных грузовqdx. Чтобы просуммировать влияние всех этих элементарных грузовqdx, нужно взять определенный интеграл в пределах от а доb

S=
. (2.2)

Буквой обозначена площадь линии влияния под нагрузкой.

Итак, чтобы определить по л.в. усилие от равномерно распределенной нагрузки интенсивность нагрузки qнужно умножить на площадь л.в. под нагрузкой (площадь понимается алгебраически - учитываются знаки участков л.в.).

3.Влияние сосредоточенного момента (рис.2.12)

Задача сводится к загружению сосредоточенными силами, если момент

представить в виде пары сил с плечом, равным единице. В этом случае каждая сила будет равна по величине М.

Влияние момента записывается как для цепочки грузов

Рис.2.12

S= _ My 1 +My 2 ,

Это выражение можно переписать так

S=M
.

Из рис.2.12 видно, что второй (дробный) множитель равен
- тангенсу угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения сосредоточенного момента, т.е

S=M
. (3.2)

Чтобы учесть влияние сосредоточенного момента нужно умножить его на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в сечении, где он действует. При этом принимается следующее правило знаков: момент, действующий по часовой стрелке, считается положительным; угол , отсчитываемый против часовой стрелки, принят положительным.На рис. 2.12 уголположительный.

Линии влияния расчетных усилий в многопролетных шарнирных балках.

Чтобы построить л.в. в многопролетной шарнирной балке, необходимо, прежде всего, построить поэтажную схему, схему взаимодействия отдельных ее элементов. Из поэтажной схемы следует, что единичная сила оказывает влияние на усилие в сечении только тогда, когда она находится на “этаже”, на котором это сечение задано, или на более высоких “этажах”.

Поэтому построение л.в. проводят в два этапа.

1.Строят л.в. на том этаже, на котором задано сечение по правилам построения л.в. для одиночной балки.

2.Учитывают влияние верхних этажей.

Построим, например, л.в. изгибающего момента для сечения I–Iв балке, показанной на рис.2..13, на котором изображена и поэтажная схема.

Так как сечение задано на основной балке АС, то строим л.в. момента как для однопролетной балки с консолью, руководствуясь правилом, изложенным на стр.20.

На втором этапе находятся нулевые точки л.в.на верхних “этажах”, которые и позволяют довести решение задачи до конца. При перемещении груза F=1 по балке второго “этажа” СЕ вправо опорная реакция на опоре С будет линейно уменьшаться и, следовательно будут уменьшаться давление на нижний этаж. Когда единичная сила, займет положение над опорой на "землю"D,то она будет воспринята этой опорой, опорная реакция на опоре С будет равна нулю, давление на нижний этаж передаваться не будет и момент в сеченииI–Iбудет равен нулю. Проведя прямую линию, соединяющую конец отрезка на консоли ВС и найденную нулевую точкуD

и продолжая ее до конца консоли второго этажа Е, получают второй участок л.в.

Поднимем груз F= 1 на третий “этаж”. Рассуждая аналогичным образом, устанавливаем, что при положении груза над опоройFопорная реакция на опоре Е будет равна нулю и нижние “этажи” выключаются из работы., то есть М I - I равен нулю. Соединим конец отрезка л.в на конце консоли второго “этажа” Е с нулем на опореF, закончим построение л.в. М I - I . (рис2.13с).

Все ординаты л.в. определяются из подобия треугольников. Опорными значениями служат ординаты на том этаже, на котором задано сечение.

Изложенные правила и приемы позволяют легко построить и л.в. поперечной силы Qв том же сеченииI–I.(рис.2.13d).

Построенные л.в. позволяют найти расчетные усилия в сечении I–Iот любой заданной нагрузки.

Найдем, например, М I - I иQ I - I от нагрузки, показанной на рис.2.13е.

Q I-I - 1.928 кН.

Пример решения задачи №1 контрольного задания.

Задана двухпролетная шарнирная балка и действующая на нее нагрузка(Рис.2.14)

Требуется

1.Построить эпюры М и Q.

2.Построить линии влияния R B ,М К и Q К для сеченияк и определить по ним опорную реакцию R В,М К, и Q К от заданной нагрузки.

1. Построение эпюр М и Q.

1.1 Выделяя "главные балки" (АВ и ДЕ) и "второстепенную" (СД),строят "поэтажную схему"(рис.2.15)

1.2 Начинают расчет с балки верхнего этажа (рис.2.16)

Балка CD /

Силу F 2 при расчете балки СД не учитываем, так как она на изгиб балки не влияет. Равномерно распределенная нагрузка оказывает одинаковое давление на опоры С иD. Поэтому

V C = V D = ql /2 = 2,4 . 3/2=3,6kH

Нужно твердо знать формулу для вычисления изгибающего момента в середине пролета равномерно загруженной балки

M max =ql 2 /8 = 2,4 . 3 2 /8 = 2,7 кНм.

1.3 Последовательно рассчитывают балки нижнего этажа.

Балка АВ (рис.2.17)

Опорные реакции определяют из условий равновесия

На конце левой консоли действует сосредоточенная сила равная сумме двух сил: силы F 2 = 2 кН и перевернутой опорной реакции балки верхнего этажаV с = 3.6 кН.

 М B =0; -6-14 . 2 + V A 4 + (2+3,6) . 1,5=0

V A = 6,40 кН;

M A = 0: - 6 +14
-V B
+ 5,6
=0

Проверка

y=0; 6,40-14 + 13,2-(2+3,6)=19,6 – 19,6 =0

Подсчитывают М и Q в характерных сечениях. Изгибающий момент М в каком либо сечении равен сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения. Поперечная сила в каком либо сечении равна сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, лежащих по одну сторону от этого сечения.

М A =- 6 кНм, М c ередина пролета АВ =- 6+6,4 . 2 = 6,80 кНм;

М К = - 6+ 6,4
- 14
3кНм М B = - (2+3,6) . 1,5 = - 8,40 кНм.

Q прав A =V A =6,40кН, Q прав серед.пролета АВ =V A = 6,40кН;

Q лев середина пролета АВ = 6,40-14 = -7,60кН;Q K = 6,4 – 14 = - 7,60 кН

Q прав B =-7,60+13,20=5,6 кН

Эпюру изгибающих моментов строим со стороны растянутых волокон и знаков можно не ставить. На эпюре поперечных сил знаки ставят обязательно.

Балка DE (рис. 2 .18)

Эпюры внутренних усилий М и Q в консольной балке удобно строить, начиная со свободного конца консоли, не определяя опорных реакций.

Рис.2.18

На участке, где действует равномерно распределенная нагрузка, моменты можно вычислять в трех точках: по концам и в середине участка. При вычислении изгибающего момента равномерно распределенная нагрузка заменяется равнодействующей.

М середине консоли =-3,6 . 1,25 - 2,4 . 1,25 . 0,625=- 6,375 кНм

М E =-3,6 . 2,5-2,4 . 2,5 . 1,25=- 16,50 кНм

Q E =-3,6-2,4 . 2,5=-9,6 кН.

Составляя эпюры, построенные для отдельных элементов, изображая ординаты в одном, удобном масштабе, строят окончательные эпюры М и Q.(Рис.2.19)

2. Построение линий влияния и определение по ним V В , M k и Q k от

заданной нагрузки.

Ориентируясь на «поэтажную» схему строят л.в. для балки АВ, а затем учитывают влияние верхнего этажа СD (рис.2.20).

Построение л.в.М л. на основной балке АВ.

На левой опоре вверх откладывают отрезок длиной, равной расстоянию от опоры А до сечения к.

Конец отрезка соединяют с правой опорой.

На полученную линию сносят сечение.

Точку пересечения соединяют с левой опорой.5

Левую и правую ветви л.в. продолжают до конца левой и правой консольной части балки

Если единичный груз находится на верхнем этаже, то давление на основную балку передается только через опору С. Когда груз расположится на опоре D, то опорная реакцияV c будет равна нулю и основная балка выключается из работы.. Поэтому влияние верхнего этажа на расчетные усилия в сечениик отражается прямой, соединяющей конец отрезка (ординаты) л.в. в точке С с точкойD.

На участке DEординаты обеих л.в.равны нулю: нагрузка, действующая на нижнем этаже не влияет на напряженное состояние другого нижнего этажа (АВ)

Линии влияния М и Qпоказаны на рис.2.20.

Определение М k и Q k по линиям влияния.

По правилам, изложенным на стр. 22-23, найдем расчетные величины усилий в сечении к от нагрузки, изображенной на рис.2.14.

Сосредоточенные силы умножаем на ординаты л.в. под этими силами, интенсивность нагрузки qумножаем на площадь л.в. под нагрузкой и сосредоточенный момент - на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения момента.

M k = - 6 . 0,30,8+14 . 0,75+2 (-0,9375)+2,4 (-0,9375 . 32) = 3,0kHм

Q k =-6 (-0,20,8) + 14 (-0,5) + 2 (-0,375) + 2,4 (-0,375 . 32) = -7,6 kH

Сравнивая полученные значения с величинами, полученными при построении эпюр, убеждаемся в их полном совпадении.

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М , Q , N и выполнить проверки.Задано соотношение I 2 =2I 1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I 1 =I , тогда I 2 =2I .

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по :

n =ΣR -Ш -3 =5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима , и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему . За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С .

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой , действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х 1 и Х 2 и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной .

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х 1 =1 и Х 2 =1 и строим эпюры .

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру М F .

М 1 =0

М 2 = -q ·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М 3 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М 4 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М 5 = -q ·8·4-F ·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Подставляем в каноническое уравнение , сокращаем на ЕI .

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х 1 , а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х 2 =7,12кН , тогда Х 1 =-1,14 кН .

1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

Сначала строим эпюры :

Тогда эпюра М ок

Проверки окончательной эпюры моментов (М ок ).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии .

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

где М S – суммарная эпюра единичных моментов , для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х 1 =1 и Х 2 =1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру М S .

Выполняем деформационную проверку по ступеням :

1. Построение Эп Q по Эп М ок .

Эп Q строим по формуле :

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу :

,

где М пр – момент правый,

М лев – момент левый,

ℓ — длина участка.

Разобьем Эп М ок на участки:

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

z меняется от 0 до ℓ

Строим ЭпQ:

1. Построение Эп N по Эп Q .

Вырезаем узлы рамы , показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами .

Строим Эп N .

1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр и проверяем по уравнениям статики .

Все проверки сошлись. Задача решена.

Уравнение для параболы :

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда х А =0, у А =0

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Формула для параболы :

Для точек А и В :

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0» ).

Распор Н определим из уравнения относительно т. С , используя свойство шарнира .

Таким образом, реакции арки :

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

1. Определение по формуле:

К примеру, для т. А :

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

Тогда арочные поперечные силы:

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n =С оп -Ш -3

где n – степень статической определимости ,

С оп – количество неизвестных опорных реакций ,

Ш — количество шарниров ,

3 – количество уравнений статики .

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: С оп = 2+3=5 . Балка имеет два шарнира, значит, Ш =2

Тогда n =5-2-3=0 . Балка является статически определимой .

1. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок .

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

Балки, которые опираются только на свои опоры , называются основными . Балки, которые опираются на другие балки , называются подвесными . Балка СD – основная , остальные – подвесные .

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных . Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком .

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно , строим для нее эпюры Q и М . Начинаем с подвесной балки АВ .

Определяем реакции R А , R В .

Наносим реакции на схему.

Строим Эп Q методом сечений .

Строим Эп М методом характерных точек .

В точке, где Q =0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум . Определим положение т.К , для этого приравниваем уравнение для Q 2 к 0 , а размер z заменим на х .

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР .

Балка ЕР относится к , эпюры для которых известны.

Теперь рассчитываем основную балку СD . В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции R В и R Е , направленные в обратную сторону.

Рассчитываем реакции балки СD .

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений .

Строим эпюру М методом характерных точек .

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка .

Строим эпюру М .

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки , при этом не допускаем переломов на эпюре М . Задача решена.

Статически определимая ферма. Задача . Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели , а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d =2м; h =3м; ℓ =16м; F =5кН .

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В , нанесем опорные реакции R А и R В .

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична , реакции будут равны между собой:

, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия ∑М А =0 (находим R В ), ∑М В =0 (находим R А ), ∑у =0 (проверка) .

Теперь обозначим элементы фермы:

«О » — стержни верхнего пояса (ВП),

«U » — стержни нижнего пояса (НП),

«V » — стойки ,

«D » — раскосы .

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О 4 — усилие в стержне верхнего пояса; D 2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О 2 , D 1 , U 2 (стержни второй панели), усилие в стойке V 2 , а также усилие в срединной стойке V 4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

1. Метод моментной точки (метод Риттера),
2. Метод проекций,
3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда , когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О 2 , D 1 , U 2 . Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки . Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней , попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О 2 .

Моментной точкой для О 2 будет т.14 , т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D 1 и U 2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О 2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О 2 – сжат .

Определяем усилия в стержне U 2 . Для U 2 моментной точкой будет т.2 , т.к. в ней пересекаются два других стержня — О 2 и D 1 .

Теперь определяем моментную точку для D 1 . Как видно из схемы, такой точки не существует , поскольку усилия О 2 и U 2 не могут пересекаться , т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим .

Воспользуемся методом проекций . Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У . Для проекции на данную ось раскоса D 1 потребуется знать угол α . Определим его.

Определим усилие в правой стойке V 2 . Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2 , оно проходит через стержни О 3 , V 2 , U 2 . Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим , применим метод проекций . Спроектируем все силы на ось У .

Теперь определим усилие в срединной стойке V 4 . Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов . Стойка V 4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11 . Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V 4 направим по оси У ). Усилия, как и прежде, направляем от узла , предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х =0, -U 4 + U 5 =0, U 4 = U 5

∑у =0, V 4 =0.

Таким образом, стержень V 4 - нулевой .

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0 .

Правила определения нулевых стержней — смотреть .

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны .

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения .

Статически неопределимая балка. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки

Определим степень статической неопределимости n= С оп — Ш — 3= 1.

Балка 1 раз статически неопределима, значит для её решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Одна из реакций является «лишней» . Для раскрытия статической неопределимости сделаем следующее: за «лишнюю» неизвестную реакцию примем реакцию опоры В . Это реакция R b . Выбираем основную систему (ОС) путём отбрасывания нагрузок и «лишней» связи (опоры В). Основная система – статически определимая .

Теперь основную систему нужно превратить в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной, для этого: 1) загрузим основную систему заданной нагрузкой, 2) в точке В приложим «лишнюю» реакцию R b . Но этого недостаточно, поскольку в заданной системе т.В неподвижна (это опора), а в эквивалентной системе – может получать перемещения. Составим условие, по которому прогиб точки В от действия заданной нагрузки и от действия «лишней» неизвестной должен быть равен 0 . Это и будет дополнительное уравнение совместности деформаций .

Обозначим прогиб от заданной нагрузки Δ F , а прогиб от «лишней» реакции Δ Rb .

Тогда составим уравнение Δ F + Δ Rb =0 (1)

Вот теперь система стала эквивалентной заданной.

Решим уравнение (1) .

Чтобы определить перемещение от заданной нагрузки Δ F :

1) Загружаем основную систему заданной нагрузкой .

2) Строим грузовую эпюру .

3) Снимаем все нагрузки и в точке В, где требуется определить перемещение прикладываем единичную силу . Строим эпюру единичных сил .

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда