Пак погледнах табелата... И, да тръгваме!
Да започнем с нещо просто:
Само минутка. това, което означава, че можем да го напишем така:
Схванах го? Ето следващия за вас:
Корените на получените числа не са ли точно извлечени? Няма проблем – ето няколко примера:
Ами ако има не два, а повече множители? Същото! Формулата за умножение на корени работи с произволен брой фактори:
Вече напълно сам:
Отговори:Много добре! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!
Коренно деление
Подредихме умножението на корените, сега нека преминем към свойството на делението.
Нека ви напомня, че общата формула изглежда така:
Което означава, че коренът на частното е равен на частното на корените.
Е, нека да разгледаме някои примери:
Това е цялата наука. Ето един пример:
Всичко не е толкова гладко, колкото в първия пример, но, както можете да видите, няма нищо сложно.
Ами ако срещнете този израз:
Просто трябва да приложите формулата в обратна посока:
И ето един пример:
Може да срещнете и този израз:
Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не си спомняте, погледнете темата и се върнете!). Помниш ли? Сега да решим!
Сигурен съм, че сте се справили с всичко, сега нека се опитаме да вдигнем корените до степен.
степенуване
Какво се случва, ако квадратният корен се повдигне на квадрат? Просто е, запомнете значението на корен квадратен от число – това е число, чийто корен квадратен е равен на.
И така, ако повдигнем на квадрат число, чийто квадратен корен е равен, какво получаваме?
Добре, разбира се, !
Нека да разгледаме примери:
Просто е, нали? Ами ако коренът е на различна степен? Всичко е наред!
Следвайте същата логика и запомнете свойствата и възможните действия със степени.
Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.
Например, ето един израз:
В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на експонентите и факторизирайте всичко:
Всичко изглежда ясно с това, но как да извлечете корена на число на степен? Ето например това:
Доста просто, нали? Ами ако степента е по-голяма от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:
Е, всичко ясно ли е? След това решете сами примерите:
А ето и отговорите:
Влизане под знака на корена
Какво ли не се научихме да правим с корените! Остава само да се упражнявате да въвеждате числото под корена!
Наистина е лесно!
Да кажем, че имаме записано число
Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!
Защо имаме нужда от това? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:
Как ви харесва това свойство на корените? Прави ли живота много по-лесен? За мен е точно така! само Трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака за квадратен корен.
Решете този пример сами -
успяхте ли Да видим какво трябва да получите:
Много добре! Успяхте да въведете номера под корен! Нека да преминем към нещо също толкова важно - нека да разгледаме как да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен!
Сравнение на корените
Защо трябва да се научим да сравняваме числа, които съдържат квадратен корен?
Много просто. Често в големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (помните ли какво е това? Вече говорихме за това днес!)
Трябва да поставим получените отговори на координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: в изпита няма калкулатор, а без него как можете да си представите кое число е по-голямо и кое по-малко? Това е!
Например, определете кое е по-голямо: или?
Не можете да кажете веднага. Добре, нека използваме разглобеното свойство за въвеждане на число под знака за корен?
Тогава продължете напред:
Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!
Тези. ако, тогава,.
От това твърдо заключаваме, че. И никой няма да ни убеди в обратното!
Извличане на корени от големи числа
Преди това въведохме множител под знака на корена, но как да го премахнем? Просто трябва да го разделите на фактори и да извлечете това, което извлечете!
Възможно е да се поеме по различен път и да се разшири в други фактори:
Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете както желаете.
Факторингът е много полезен при решаването на такива нестандартни проблеми като този:
Да не се страхуваме, а да действаме! Нека разложим всеки фактор под корена на отделни фактори:
Сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да бъде на изпита):
това ли е краят Нека не спираме на половината път!
Това е всичко, не е толкова страшно, нали?
Се случи? Браво, точно така!
Сега опитайте този пример:
Но примерът е труден за разбиване, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но, разбира се, можем да се справим.
Е, да започнем факторизирането? Нека веднага да отбележим, че можете да разделите число на (помнете знаците за делимост):
Сега опитайте сами (отново без калкулатор!):
Е, проработи ли? Браво, точно така!
Нека обобщим
- Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на.
. - Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
- Свойства на аритметичен корен:
- Когато сравнявате квадратни корени, трябва да запомните, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.
Как е квадратният корен? Всичко е ясно?
Опитахме се да ви обясним без никакви проблеми всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.
Твой ред е. Пишете ни дали тази тема е трудна за вас или не.
Научихте ли нещо ново или вече всичко беше ясно?
Пишете в коментарите и успех на изпитите!
Материалът в тази статия трябва да се разглежда като част от темата трансформация на ирационални изрази. Тук ще използваме примери, за да анализираме всички тънкости и нюанси (от които има много), които възникват при извършване на трансформации въз основа на свойствата на корените.
Навигация в страницата.
Нека си припомним свойствата на корените
Тъй като предстои да се занимаваме с преобразуването на изрази, използвайки свойствата на корените, няма да ви навреди да запомните основните или дори по-добре да ги запишете на хартия и да ги поставите пред себе си.
Първо се изучават квадратните корени и техните следните свойства (a, b, a 1, a 2, ..., a k са реални числа):
И по-късно идеята за корен се разширява, въвежда се определението за корен от n-та степен и се разглеждат следните свойства (a, b, a 1, a 2, ..., a k са реални числа, m, n, n 1, n 2, ... , n k - естествени числа):
Преобразуване на изрази с числа под радикални знаци
Както обикновено, първо се учат да работят с числови изрази и едва след това преминават към изрази с променливи. Ще направим същото, като първо ще се занимаваме с преобразуването на ирационални изрази, съдържащи само числови изрази под знаците на корените, а след това в следващия параграф ще въведем променливи под знаците на корените.
Как това може да се използва за трансформиране на изрази? Много е просто: например можем да заменим ирационален израз с израз или обратното. Тоест, ако изразът, който се преобразува, съдържа израз, който съвпада по външен вид с израза от лявата (дясната) част на някое от изброените свойства на корените, тогава той може да бъде заменен със съответния израз от дясната (лявата) част. Това е преобразуване на изрази, използвайки свойствата на корените.
Нека дадем още няколко примера.
Нека опростим израза 
. Числата 3, 5 и 7 са положителни, така че можем спокойно да приложим свойствата на корените. Тук можете да действате по различни начини. Например, корен, базиран на свойство, може да бъде представен като , а корен, използващ свойство с k=3 - като , с този подход решението ще изглежда така: 
Човек може да го направи по различен начин, като замени с и след това с, в който случай решението ще изглежда така: 
Възможни са и други решения, например:
Нека да разгледаме решението на друг пример. Нека трансформираме израза. Разглеждайки списъка със свойства на корените, ние избираме от него свойствата, които са ни необходими за решаване на примера; ясно е, че две от тях са полезни тук и , които са валидни за всяко a . Ние имаме: 
Като алтернатива, човек може първо да трансформира радикалните изрази, като използва 
и след това приложете свойствата на корените
До този момент сме преобразували изрази, които съдържат само квадратни корени. Време е да работим с корени, които имат различни показатели.
Пример.
Преобразувайте ирационалния израз 
.
Решение.
По собственост 
първият множител на даден продукт може да бъде заменен с числото −2: 
Продължавай. По силата на свойството вторият фактор може да бъде представен като 
Препоръчително е да замените корена на дроб със съотношение на корени от формата , което може да се трансформира допълнително: 
. Ние имаме
След извършване на операции с двойки, полученият израз ще приеме формата , и всичко, което остава, е да преобразуваме произведението на корените.
За да се трансформират продуктите на корените, те обикновено се свеждат до един показател, за който е препоръчително да се вземат показателите на всички корени. В нашия случай LCM(12, 6, 12) = 12 и само коренът ще трябва да бъде намален до този индикатор, тъй като другите два корена вече имат такъв индикатор. Равенството, което се прилага отдясно наляво, ни позволява да се справим с тази задача. Така . Като вземем предвид този резултат, имаме 
Сега произведението на корените може да бъде заменено с корена на продукта и да извърши останалите, вече очевидни трансформации: 
Нека напишем кратка версия на решението: 
Отговор:
.
Отделно подчертаваме, че за да се приложат свойствата на корените, е необходимо да се вземат предвид ограниченията, наложени върху числата под знаците на корените (a≥0 и т.н.). Пренебрегването им може да доведе до неправилни резултати. Например знаем, че свойството е валидно за неотрицателно a . Въз основа на него можем лесно да преминем например от към, тъй като 8 е положително число. Но ако вземем смислен корен от отрицателно число например и въз основа на посоченото по-горе свойство го заменим с , тогава всъщност заместваме −2 с 2. Наистина, ах. Тоест, за отрицателно a равенството може да е неправилно, точно както други свойства на корените могат да бъдат неправилни, без да се вземат предвид условията, определени за тях.
Но това, което беше казано в предишния параграф, изобщо не означава, че изрази с отрицателни числа под знаците на корените не могат да бъдат трансформирани с помощта на свойствата на корените. Просто първо трябва да бъдат „подготвени“, като се приложат правилата за работа с числа или се използва определението за нечетен корен от отрицателно число, което съответства на равенството , където −a е отрицателно число (докато a е положително). Например, той не може да бъде незабавно заменен с , тъй като −2 и −3 са отрицателни числа, но ни позволява да преминем от корена към и след това допълнително да приложим свойството на корена на продукт: 
. И в един от предишните примери беше необходимо да се премине от корен към корен на осемнадесета степен не така, а така 
.
И така, за да трансформирате изрази, използвайки свойствата на корените, трябва
- изберете подходящата собственост от списъка,
- уверете се, че числата под корена отговарят на условията за избраното свойство (в противен случай трябва да извършите предварителни трансформации),
- и извършете планираната трансформация.
Преобразуване на изрази с променливи под корен
За да трансформирате ирационални изрази, съдържащи не само числа, но и променливи под знака на корена, свойствата на корените, изброени в първия параграф на тази статия, трябва да се прилагат внимателно. Това се дължи най-вече на условията, на които трябва да отговарят числата, включени във формулите. Например въз основа на формулата изразът може да бъде заменен с израз само за тези стойности на x, които отговарят на условията x≥0 и x+1≥0, тъй като посочената формула е посочена за a≥0 и b ≥0.
Какви са опасностите от пренебрегването на тези условия? Отговорът на този въпрос ясно се демонстрира от следния пример. Да кажем, че трябва да изчислим стойността на израз при x=−2. Ако веднага заместим числото −2 вместо променливата x, ще получим стойността, от която се нуждаем 
. Сега нека си представим, че въз основа на някои съображения сме преобразували дадения израз във формата и едва след това сме решили да изчислим стойността. Заменяме числото −2 с x и стигаме до израза 
, което няма смисъл.
Нека видим какво се случва с диапазона от допустими стойности (APV) на променливата x при преминаване от израз към израз. Неслучайно споменахме ODZ, тъй като това е сериозен инструмент за наблюдение на допустимостта на извършените трансформации и промяна в ODZ след трансформиране на израз би трябвало най-малкото да предизвиква проблеми. Намирането на ODZ за тези изрази не е трудно. Тъй като изразът ODZ се определя от неравенството x·(x+1)≥0, неговото решение дава числения набор (−∞, −1]∪∪∪
Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват коренните фактори, значи продуктът също съществува.
Примери. Нека да разгледаме четири примера с числа наведнъж:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример ние сами бихме извлекли корените на 25 и 4 без нови правила, тогава нещата стават трудни: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се разглеждат сами по себе си, а тяхното произведение се оказва перфектен квадрат, така че неговият корен е равен на рационално число.
Бих искал специално да подчертая последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в адекватно число.
Разбира се, нещата не винаги ще бъдат толкова красиви. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да правите с него и как да го трансформирате след умножение. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции. И много често авторите на проблеми разчитат на факта, че ще откриете някои анулиращи условия или фактори, след което проблемът ще бъде многократно опростен.
Освен това изобщо не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три, четири или дори десет наведнъж! Това няма да промени правилото. Погледни:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \край (подравняване)\]
И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия фактор под корена има десетична дроб - в процеса на изчисления го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всички ирационални изрази (т.е. съдържащи поне един радикален символ). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.
Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме по-общ случай - когато коренният показател съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.
Случаят на произволен индикатор
И така, подредихме квадратните корени. Какво да правим с кубиците? Или дори с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:
За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните радикални изрази и след това да запишете резултата под един радикал.
Като цяло, нищо сложно. Освен че количеството изчисления може да бъде по-голямо. Нека да разгледаме няколко примера:
Примери. Изчислете продуктите:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \край (подравняване)\]
И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубичните корени, премахваме десетичната дроб и в крайна сметка знаменателят е произведението на числата 625 и 25. Това е доста голямо число - лично аз лично не мога да разбера на какво се равнява отгоре от главата ми.
Затова просто изолирахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако предпочитате, дефиниция) на $n$-тия корен:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\надясно|. \\ \край (подравняване)\]
Такива „машинации“ могат да ви спестят много време на изпит или тест, така че помнете:
Не бързайте да умножавате числа с радикални изрази. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?
Въпреки очевидността на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти не виждат от упор точните степени. Вместо това те умножават всичко направо и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)
Всичко това обаче са бебешки приказки в сравнение с това, което ще изучаваме сега.
Умножение на корени с различни степени
Добре, сега можем да умножим корени със същите показатели. Ами ако показателите са различни? Да речем, как да умножа обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?
Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:
Правило за умножение на корени. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, е достатъчно да извършите следната трансформация:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна бележка, към която ще се върнем малко по-късно.
Засега нека да разгледаме няколко примера:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим. :)
Умножаването на корените е лесно Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?
Разбира се, можете да бъдете като училищни учители и да цитирате учебника с умен поглед:
Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четни и нечетни степени (съответно техните области на дефиниране също са различни).
Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах нещо като следното: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, аз По онова време не разбирам нищо. :)
Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.
Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
С други думи, можем лесно да повдигнем радикалния израз на всяка естествена степен $k$ - в този случай показателят на степента на корена ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да редуцираме всякакви корени до общ показател и след това да ги умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Но има един проблем, който рязко ограничава използването на всички тези формули. Помислете за това число:
Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). Сега нека извършим обратната трансформация: „намалете“ двете в степента и степента. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \край (подравняване)\]
Но тогава се оказва някаква глупост:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Това не може да се случи, защото $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:
- Да се удари в стената и да заяви, че математиката е глупава наука, в която „има някакви правила, но тези са неточни“;
- Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.
В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, отнема много време и като цяло уф. Затова математиците предпочетоха втория вариант. :)
Но не се тревожете! На практика това ограничение не влияе по никакъв начин на изчисленията, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корени от нечетна степен и от тях могат да се вземат минуси.
Затова нека формулираме още едно правило, което общо взето важи за всички действия с корени:
Преди да умножите корени, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.
Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да премахнете минуса под знака на корена - тогава всичко ще бъде нормално:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Усещате ли разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минуса, тогава можете да квадратирате/махате, докато не посинеете - числото ще остане отрицателно. :)
По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е следният:
- Премахнете всички негативи от радикалите. Минусите съществуват само в корени с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
- Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако показателите на корените са еднакви, ние просто умножаваме радикалните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Насладете се на резултата и добрите оценки.:)
Добре? Да тренираме ли?
Пример 1: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \край (подравняване)\]
Това е най-простият вариант: корените са еднакви и нечетни, единственият проблем е, че вторият фактор е отрицателен. Изваждаме този минус от снимката, след което всичко се изчислява лесно.
Пример 2: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]
Тук мнозина биха се объркали от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.
Пример 3: Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Искам да обърна внимание на тази задача. Тук има две точки:
- Коренът не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често трябва да се справяте с променливи.
- В крайна сметка успяхме да „намалим” радикалния показател и степента на радикална изява. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.
Например можете да направите това:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\край (подравняване)\]
Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не опишете подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията ще бъде значително намалено.
Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решихме примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-просто:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \край (подравняване)\]
Е, подредихме умножението на корените. Сега нека разгледаме обратната операция: какво да правим, когато има продукт под корена?
коренн-та степен и нейните основни свойства
Степенреално число Ас естествен показател Пима работа Пфактори, всеки от които е равен A:
a1 = a; а2 =а·а; А н =
Например,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 пъти
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 пъти
Реално число АНаречен основата на степента,а естественото число n е експонент.
Основните свойства на степените с естествен показател следват директно от определението: степен на положително число с произволно Пд нположителен; Степента на отрицателно число с четен показател е положителна, с нечетен показател е отрицателна.
Например,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Действията със степени се извършват, както следва: правила.
1. За да умножите степени с еднакви основи, е достатъчно да добавите степените и да оставите основата същата, т.е.
Например p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. За да разделите степените с еднакви основи, достатъчно е да извадите показателя на делителя от индекса на дивидента и да оставите основата същата, т.е.
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. За да повдигнете степен на степен, е достатъчно да умножите експонентите, оставяйки основата същата, т.е.
(ap)м = при·стр.Например (23)2 = 26.
4. За да повдигнете продукт на степен, достатъчно е да повдигнете всеки фактор на тази степен и да умножите резултатите, т.е.
(А b)P= ап∙bП.
Например, (2у3)2= 4y6.
5. За да повдигнете дроб на степен, достатъчно е да повдигнете числителя и знаменателя отделно на тази степен и да разделите първия резултат на втория, т.е.
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Обърнете внимание, че понякога е полезно тези формули да се четат отдясно наляво. В този случай те се превръщат в правила. Например в случай 4, apvp= (av)pполучаваме следното правило: да се За да умножите степени с еднакви показатели, е достатъчно да умножите основите, оставяйки степента същата.
Използването на това правило е ефективно, например, когато изчислявате следния продукт
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Нека сега дадем дефиницията на корен.
n-ти корен от реално число Анаречено реално число Х,чиято n-та степен е равна на А.
Очевидно, в съответствие с основните свойства на степените с естествени показатели, от всяко положително число има две противоположни стойности на корена на четната степен, например числата 4 и -4 са квадратни корени от 16, тъй като ( -4)2 = 42 = 16, а числата 3 и -3 са четвърти корен от 81, тъй като (-3)4 = 34 = 81.
Освен това няма четен корен от отрицателно число, защото четната степен на всяко реално число е неотрицателна. Що се отнася до нечетния корен, за всяко реално число има само един нечетен корен от това число. Например 3 е корен трети от 27, тъй като 33 = 27, а -2 е корен пети от -32, тъй като (-2)5 = 32.
Поради съществуването на два корена от четна степен на положително число, ние въвеждаме концепцията за аритметичен корен, за да елиминираме тази неяснота на корена.
Извиква се неотрицателната стойност на корен n-та от неотрицателно число аритметичен корен.
Например https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Трябва да се помни, че при решаването на ирационални уравнения техните корени винаги се считат за аритметика.
Нека отбележим основното свойство на корена n-ти.
Размерът на корена няма да се промени, ако показателите на корена и степента на израза на радикала се умножат или разделят на едно и също естествено число, т.е.
Пример 7. Приведете до общ знаменател и