Погледнах отново чинията ... И да тръгваме!
Нека започнем с едно просто:
Чакай малко. това, което означава, че можем да го напишем така:
Схванах го? Ето следващия за вас:
Корените на получените числа не са точно извлечени? Не се притеснявайте, ето няколко примера:
Но какво ще стане, ако няма два множителя, а повече? Един и същ! Формулата за умножение на корен работи с произволен брой фактори:
Вече напълно независими:
Отговори:Много добре! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!
Коренно деление
Разбрахме умножението на корените, сега нека да преминем към свойството на делението.
Нека ви напомня, че формулата най-общо изглежда така:
И това означава, че коренът на частното е равен на частното на корените.
Е, нека да разгледаме примерите:
Това е цялата наука. И ето един пример:
Всичко не е толкова гладко, колкото в първия пример, но както виждате, няма нищо сложно.
Ами ако изразът изглежда така:
Просто трябва да приложите формулата в обратен ред:
И ето един пример:
Можете също да видите този израз:
Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не си спомняте, погледнете темата и се върнете!). Спомняте ли си? Сега решаваме!
Сигурен съм, че сте се справили с всичко, всичко, сега нека се опитаме да изградим корени в степен.
степенуване
Какво се случва, ако квадратният корен се повдигне на квадрат? Просто е, запомнете значението на корен квадратен от число – това е число, чийто корен квадратен е равен на.
И така, ако повдигнем на квадрат число, чийто квадратен корен е равен, тогава какво получаваме?
Добре, разбира се, !
Нека да разгледаме примери:
Всичко е просто, нали? А ако коренът е в различна степен? ОК е!
Придържайте се към същата логика и запомнете свойствата и възможните действия със степените.
Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.
Например, ето един израз:
В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на мощността и факторизирайте всичко:
С това всичко изглежда ясно, но как да извлечете корена от число в степен? Ето например това:
Доста просто, нали? Ами ако степента е по-голяма от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:
Е, всичко ясно ли е? След това решете вашите собствени примери:
А ето и отговорите:
Въведение под знака на корена
Какво просто не сме се научили да правим с корените! Остава само да практикувате въвеждането на числото под знака на корена!
Съвсем лесно е!
Да кажем, че имаме номер
Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!
Защо ни трябва? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:
Как ви харесва това свойство на корените? Прави живота много по-лесен? За мен е така! само трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака за квадратен корен.
Опитайте сами този пример:
успяхте ли Да видим какво трябва да получите:
Много добре! Успяхте да въведете число под знака корен! Нека да преминем към нещо също толкова важно - помислете как да сравнявате числа, съдържащи квадратен корен!
Сравнение на корена
Защо трябва да се научим да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен?
Много просто. Често в големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (сещате ли се какъв е? Вече говорихме за това днес!)
Трябва да поставим получените отговори на координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: на изпита няма калкулатор, а без него как да си представим кое число е по-голямо и кое по-малко? Това е!
Например, определете кое е по-голямо: или?
Няма да кажете веднага. Добре, нека използваме анализираното свойство за добавяне на число под знака за корен?
След това напред:
Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!
Тези. ако означава.
От това твърдо заключаваме, че И никой няма да ни убеди в обратното!
Извличане на корени от големи числа
Преди това въведохме фактор под знака на корена, но как да го извадим? Просто трябва да го разложите и да извлечете извлеченото!
Възможно е да се отиде по друг начин и да се разложи на други фактори:
Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете как се чувствате комфортно.
Факторингът е много полезен при решаването на такива нестандартни задачи като тази:
Ние не се страхуваме, ние действаме! Разлагаме всеки фактор под корена на отделни фактори:
А сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да е на изпита):
това ли е краят Ние не спираме на половината път!
Това е всичко, не е толкова страшно, нали?
Се случи? Браво, прав си!
Сега опитайте този пример:
И един пример е труден орех, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но ние, разбира се, сме в зъбите.
Е, нека започнем с факторизирането, става ли? Веднага отбелязваме, че можете да разделите число на (припомнете си знаците за делимост):
А сега опитайте сами (отново без калкулатор!):
Е, проработи ли? Браво, прав си!
Обобщаване
- Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен.
. - Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
- Свойства на аритметичен корен:
- Когато сравнявате квадратни корени, трябва да се помни, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.
Как ви харесва квадратният корен? Всичко е ясно?
Опитахме се да ви обясним без вода всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.
Твой ред е. Пишете ни дали тази тема е трудна за вас или не.
Научихте ли нещо ново или вече всичко беше толкова ясно.
Пишете в коментарите и успех на изпитите!
Материалът на тази статия трябва да се разглежда като част от темата трансформация на ирационални изрази. Тук, използвайки примери, ще анализираме всички тънкости и нюанси (от които има много), които възникват при извършване на трансформации въз основа на свойствата на корените.
Навигация в страницата.
Припомнете си свойствата на корените
Тъй като ще се занимаваме с преобразуването на изрази, използвайки свойствата на корените, не пречи да запомните основните или дори по-добре да ги запишете на хартия и да ги поставите пред себе си.
Първо се изучават квадратните корени и техните следните свойства (a, b, a 1, a 2, ..., a k са реални числа):
И по-късно идеята за корена се разширява, въвежда се определението за корен от n-та степен и се разглеждат такива свойства (a, b, a 1, a 2, ..., a k са реални числа, m, n, n 1, n 2, ... , n k - естествени числа):
Преобразуване на изрази с числа под коренни знаци
Както обикновено, първо се учат да работят с числови изрази и едва след това преминават към изрази с променливи. Ще направим същото и първо ще се занимаваме с преобразуването на ирационални изрази, съдържащи само числови изрази под знаците на корените, и вече по-нататък в следващия параграф ще въведем променливи под знаците на корените.
Как това може да се използва за трансформиране на изрази? Много просто: например можем да заменим ирационален израз с израз или обратното. Тоест, ако преобразуваният израз съдържа израз, който съвпада с израза от лявата (дясна) част на някое от изброените свойства на корените, тогава той може да бъде заменен със съответния израз от дясната (лявата) част. Това е преобразуване на изрази, използващи свойствата на корените.
Нека вземем още няколко примера.
Нека опростим израза 
. Числата 3, 5 и 7 са положителни, така че можем спокойно да приложим свойствата на корените. Тук можете да действате по различен начин. Например корен, базиран на свойства, може да бъде представен като , а корен, базиран на свойства с k=3 като , с този подход решението ще изглежда така: 
Възможно е да се направи друго, като се замени с , а след това с , в този случай решението ще изглежда така: 
Възможни са и други решения, например:
Нека да разгледаме друг пример. Нека трансформираме израза. Разглеждайки списъка със свойства на корените, ние избираме от него свойствата, които са ни необходими за решаване на примера, ясно е, че две от тях и са полезни тук, които са валидни за всяко a . Ние имаме: 
Като алтернатива, човек може първо да трансформира изрази под коренни знаци, използвайки 
и след това приложете свойствата на корените
До този момент сме преобразували изрази, които съдържат само квадратни корени. Време е да работим с корени, които имат други показатели.
Пример.
Трансформирайте ирационалния израз 
.
Решение.
По собственост 
първият множител на даден продукт може да бъде заменен с числото −2: 
Продължа напред. По силата на свойството вторият фактор може да бъде представен като и не пречи да замените 81 с четворната степен на три, тъй като числото 3 се появява в останалите фактори под знаците на корените: 
Препоръчително е да замените корена на дробта със съотношението на корените на формата , които могат да бъдат допълнително трансформирани: 
. Ние имаме
Полученият израз след извършване на операции с двойки ще приеме формата , и остава да преобразуваме произведението на корените.
За да се трансформират продуктите на корените, те обикновено се свеждат до един показател, за който е препоръчително да се вземат показателите на всички корени. В нашия случай LCM(12, 6, 12)=12 и само коренът ще трябва да бъде намален до този индикатор, тъй като другите два корена вече имат такъв индикатор. За да се справи с тази задача позволява равенството, което се прилага от дясно на ляво. Така . Имайки предвид този резултат, имаме 
Сега произведението на корените може да се замени с корена на произведението и да се извършат останалите, вече очевидни трансформации: 
Нека направим кратка версия на решението: 
Отговор:
.
Отделно подчертаваме, че за да се приложат свойствата на корените, е необходимо да се вземат предвид ограниченията, наложени върху числата под знаците на корените (a≥0 и т.н.). Пренебрегването им може да доведе до неправилни резултати. Например знаем, че свойството е валидно за неотрицателно a . Въз основа на него можем спокойно да отидем например от до, тъй като 8 е положително число. Но ако вземем смислен корен от отрицателно число, например , и въз основа на горното свойство го заменим с , тогава всъщност ще заменим −2 с 2 . Наистина, , a . Тоест, за отрицателно a, равенството може да е невярно, както други свойства на корените могат да бъдат неверни, без да се вземат предвид условията, определени за тях.
Но това, което беше казано в предишния параграф, изобщо не означава, че изрази с отрицателни числа под коренните знаци не могат да бъдат трансформирани с помощта на свойствата на корените. Просто трябва да се „подготвят“ предварително, като се прилагат правилата за работа с числа или се използва дефиницията за корен на нечетна степен от отрицателно число, което съответства на равенството , където −a е отрицателно число (докато a е положително) . Например, той не може да бъде незабавно заменен с , тъй като −2 и −3 са отрицателни числа, но ни позволява да преминем от корена към и след това да приложим свойството на корена от продукта: 
. И в един от предишните примери беше необходимо да се премине от корена към корена на осемнадесета степен не така, а така 
.
Така че, за да трансформирате изрази, използвайки свойствата на корените, трябва да
- изберете подходящата собственост от списъка,
- уверете се, че числата под корена отговарят на условията за избраното свойство (в противен случай трябва да извършите предварителни трансформации),
- и извършете планираната трансформация.
Преобразуване на изрази с променливи под корен
За да трансформирате ирационални изрази, съдържащи не само числа, но и променливи под знака на корена, свойствата на корените, изброени в първия параграф на тази статия, трябва да се прилагат внимателно. Това се дължи в по-голямата си част на условията, на които трябва да отговарят числата, включени във формулите. Например въз основа на формулата изразът може да бъде заменен с израз само за тези x стойности, които отговарят на условията x≥0 и x+1≥0, тъй като посочената формула е зададена за a≥0 и b≥ 0 .
Каква е опасността от пренебрегването на тези условия? Отговорът на този въпрос ясно се демонстрира от следния пример. Да кажем, че трябва да изчислим стойността на израз, когато x=−2. Ако незабавно заместим числото −2 вместо променливата x, тогава получаваме стойността, от която се нуждаем 
. А сега нека си представим, че въз основа на някои съображения сме преобразували дадения израз във формата и едва след това сме решили да изчислим стойността. Заместваме числото −2 вместо x и стигаме до израза 
, което няма смисъл.
Нека да разгледаме какво се случва с диапазона от валидни стойности (ODV) на променливата x, докато преминаваме от израз към израз. Споменахме ODZ неслучайно, тъй като това е сериозен инструмент за контрол на допустимостта на извършените трансформации и промяната на ODZ след трансформацията на израза трябва поне да предупреди. Не е трудно да се намери ODZ за тези изрази. За израза ODZ се определя от неравенството x (x+1)≥0 , решението му дава числовия набор (−∞, −1]∪∪∪
Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват корените на множителя, значи продуктът също съществува.
Примери. Разгледайте четири примера с числа наведнъж:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример щяхме да извлечем корените от 25 и 4 без нови правила, тогава калайът започва: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се броят сами по себе си, но тяхното произведение се оказва точен квадрат, така че коренът от него е равен на рационално число.
Отделно бих искал да отбележа последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се компенсират и целият израз се превръща в адекватно число.
Разбира се, не винаги всичко ще бъде толкова красиво. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да се прави с него и как да се трансформира след умножаване. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции като цяло. И много често компилаторите на проблемите просто разчитат на факта, че ще намерите някои договорни условия или фактори, след което задачата ще бъде значително опростена.
Освен това не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три наведнъж, четири - да, дори десет! Това няма да промени правилото. Погледни:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \край (подравняване)\]
И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия множител под корена има десетична дроб - в процеса на изчисление го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всички ирационални изрази (тоест, съдържащи поне една радикална икона). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.
Но това беше лирично отклонение. Сега нека разгледаме един по-общ случай - когато степенният корен съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.
Случаят на произволен индикатор
И така, намерихме квадратния корен. И какво да правя с кубчета? Или изобщо с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:
За да се умножат два корена от степен $n$, е достатъчно да се умножат техните коренни изрази, след което резултатът се записва под един радикал.
Като цяло, нищо сложно. Освен ако обемът на изчисленията не може да бъде повече. Нека да разгледаме няколко примера:
Примери. Изчислете продуктите:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \край (подравняване)\]
И отново внимание на втория израз. Умножаваме кубичните корени, отърваваме се от десетичната дроб и в резултат на това в знаменателя получаваме произведението на числата 625 и 25. Това е доста голямо число - лично аз няма веднага да изчисля на какво е равно да се.
Затова просто избрахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако искате, дефиницията) на корена на $n$-та степен:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\надясно|. \\ \край (подравняване)\]
Подобни „измамници“ могат да ви спестят много време на изпит или тест, така че запомнете:
Не бързайте да умножавате числата в радикалния израз. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?
С цялата очевидност на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти направо не виждат точните степени. Вместо това те умножават всичко напред и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)
Всичко това обаче е детска игра спрямо това, което ще изучаваме сега.
Умножение на корени с различни показатели
Е, сега можем да умножим корени с еднакви показатели. Ами ако резултатите са различни? Кажете, как се умножава обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?
Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:
Правило за умножение на корен. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, просто направете следната трансформация:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна забележка, към която ще се върнем малко по-късно.
Засега нека да разгледаме няколко примера:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \край (подравняване)\]
Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим. :)
Лесно е да се умножат корените. Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?
Разбира се, можете да станете като училищни учители и да цитирате учебник с умен поглед:
Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четни и нечетни степени (съответно техните области на дефиниране също са различни).
Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах за себе си нещо подобно: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко аз не разбирах нищо по това време. :)
Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.
Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
С други думи, можем безопасно да повдигнем коренния израз на всяка естествена степен $k$ - в този случай коренният индекс ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да намалим всякакви корени до общ индикатор, след което да умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Но има един проблем, който силно ограничава приложението на всички тези формули. Помислете за това число:
Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). А сега нека извършим обратното преобразуване: "намалете" двете в експонента и степен. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \край (подравняване)\]
Но тогава се случва нещо лудо:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Това не може да се дължи на $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:
- Да се биеш в стената, за да твърдиш, че математиката е глупава наука, където „има някакви правила, но това е неточно“;
- Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.
В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, дълго и като цяло фу. Затова математиците предпочетоха втория вариант. :)
Но не се тревожете! На практика това ограничение не влияе по никакъв начин на изчисленията, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корените на нечетна степен и минусите могат да бъдат извадени от тях.
Затова формулираме друго правило, което се прилага като цяло за всички действия с корени:
Преди да умножите корените, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.
Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да извадите минуса от знака на корена - тогава всичко ще бъде наред:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Почувствай разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минус, тогава можете дори да вдигнете / премахнете квадратче, докато посинеете - числото ще остане отрицателно. :)
По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е следният:
- Премахнете всички минуси под радикалите. Минусите са само в корените с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
- Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако индексите на корените са еднакви, просто умножете коренните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Радваме се на резултата и добрите оценки. :)
Добре? Да тренираме ли?
Пример 1. Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \край (подравняване)\]
Това е най-простият вариант: индикаторите на корените са еднакви и нечетни, проблемът е само в минуса на втория множител. Издържаме този минус нафиг, след което всичко се обмисля лесно.
Пример 2. Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]
Тук мнозина биха се объркали от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.
Пример 3. Опростете израза:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Ето на това бих искал да ви обърна внимание. Тук има две точки:
- Под корена не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често ще трябва да се справяте с променливи.
- В крайна сметка успяхме да „намалим“ коренния експонент и степен в радикалния израз. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.
Например можете да направите това:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \край (подравняване)\]
Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не нарисувате подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството изчисления значително ще намалее.
Всъщност вече сме срещали подобна задача по-горе при решаването на примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-лесно:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \край (подравняване)\]
Е, разбрахме умножението на корените. Сега помислете за обратната операция: какво да правите, когато има работа под корена?
кореннстепен и нейните основни свойства
Степенреално число ас естествен показател Пима работа Пфактори, всеки от които е равен на а:
a1 = a; a2 = a a; а н =
Например,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
Пет пъти
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 пъти
Реално число аНаречен основата на степентаи естествено число n - индикатор за степен.
Основните свойства на степените с естествени показатели следват директно от определението: степента на положително число с произволен Пд нположителен; степента на отрицателно число с четен показател е положителна, с нечетно число е отрицателна.
Например,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Действията със степени се извършват по следния начин правила.
1. За да умножите степени с една и съща основа, е достатъчно да добавите степените и да оставите основата същата, т.е.
Например p5∙p3 = p5+3 =p8
2. За да разделите градуси с еднакви основи, достатъчно е да извадите индикатора на делителя от индикатора за дивидент и да оставите основата същата, т.е.
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. За да повдигнете степен на степен, е достатъчно да умножите степените, оставяйки основата същата, т.е.
(нагоре)м = на стр.Например (23)2 = 26.
4. За да повдигнете продукт на степен, достатъчно е да повдигнете всеки фактор на тази степен и да умножите резултатите, т.е.
(а b)P= един ∙bП.
Например, (2y3)2= 4y6.
5. За да повдигнете дроб на степен, достатъчно е да повдигнете числителя и знаменателя отделно на тази степен и да разделите първия резултат на втория, т.е.
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Имайте предвид, че тези формули понякога са полезни за четене отдясно наляво. В този случай те се превръщат в правила. Например в случай 4, apvp= (av)pполучаваме следното правило: да се за да умножите степени с еднакви показатели, е достатъчно да умножите основите, оставяйки степента същата.
Използването на това правило е ефективно, например, когато изчислявате следния продукт
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Сега даваме дефиницията на корен.
Корен n-та от реално число анаречено реално число Х,чиято n-та степен е а.
Очевидно, в съответствие с основните свойства на степените с естествени експоненти, от всяко положително число има две противоположни стойности на корена от четна степен, например числата 4 и -4 са квадратни корени от 16 , тъй като (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, а числата 3 и -3 са четвърти корен от 81, тъй като (-3)4 = 34 = 81.
Освен това няма четен корен от отрицателно число, защото четна степен на всяко реално число е неотрицателна. Що се отнася до корена на нечетна степен, тогава за всяко реално число има само един корен на нечетна степен от това число. Например 3 е корен трети от 27, защото Z3 = 27, а -2 е корен пети от -32, защото (-2)5 = 32.
Във връзка със съществуването на два корена с четна степен от положително число въвеждаме понятието аритметичен корен, за да елиминираме тази неяснота на корена.
Нарича се неотрицателната стойност на n-тия корен на неотрицателно число аритметичен корен.
Например https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Трябва да се помни, че при решаването на ирационални уравнения техните корени винаги се считат за аритметика.
Отбелязваме основното свойство на корена на n-та степен.
Стойността на корена няма да се промени, ако показателите на корена и степента на израза на корена се умножат или разделят на едно и също естествено число, т.е.
Пример 7. Приведете до общ знаменател и