അതേ ഡിഗ്രിയിൽ വേരുകൾ എങ്ങനെ കൊണ്ടുവരാം. സ്ക്വയർ റൂട്ട്. ഉദാഹരണങ്ങളുള്ള വിശദമായ സിദ്ധാന്തം. വലിയ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു

ഞാൻ വീണ്ടും പ്ലേറ്റിലേക്ക് നോക്കി ... പിന്നെ, നമുക്ക് പോകാം!

ലളിതമായ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

ഒരു മിനിറ്റ് കാത്തിരിക്കൂ. ഇത്, അതായത് നമുക്ക് ഇതുപോലെ എഴുതാം:

മനസ്സിലായി? നിങ്ങൾക്കായി അടുത്തത് ഇതാ:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകളുടെ വേരുകൾ കൃത്യമായി വേർതിരിച്ചെടുത്തിട്ടില്ലേ? വിഷമിക്കേണ്ട, ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

എന്നാൽ രണ്ട് ഗുണിതങ്ങളല്ല, മറിച്ച് കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ? അതേ! റൂട്ട് ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഏത് ഘടകങ്ങളിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണമായും സ്വതന്ത്ര:

ഉത്തരങ്ങൾ:നന്നായി! സമ്മതിക്കുക, എല്ലാം വളരെ എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം ഗുണന പട്ടിക അറിയുക എന്നതാണ്!

റൂട്ട് ഡിവിഷൻ

വേരുകളുടെ ഗുണനം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വിഭജനത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തിലേക്ക് പോകാം.

പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

അതിന്റെ അർത്ഥം ഘടകത്തിന്റെ റൂട്ട് വേരുകളുടെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്.

ശരി, നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

അതെല്ലാം ശാസ്ത്രമാണ്. കൂടാതെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

എല്ലാം ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിലെ പോലെ സുഗമമല്ല, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല.

പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെയാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും:

നിങ്ങൾ ഫോർമുല വിപരീതമായി പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

കൂടാതെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ പദപ്രയോഗവും കാണാം:

എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഇവിടെ മാത്രം ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ വിവർത്തനം ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് (നിങ്ങൾക്ക് ഓർമ്മയില്ലെങ്കിൽ, വിഷയം നോക്കി മടങ്ങുക!). ഓർമ്മയുണ്ടോ? ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുന്നു!

നിങ്ങൾ എല്ലാം, എല്ലാം കൈകാര്യം ചെയ്തുവെന്ന് എനിക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഡിഗ്രിയിൽ വേരുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ

സ്ക്വയർ റൂട്ട് സ്ക്വയർ ചെയ്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ഇത് ലളിതമാണ്, ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ അർത്ഥം ഓർക്കുക - ഇത് സ്ക്വയർ റൂട്ടിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

അതിനാൽ, വർഗ്ഗമൂല്യം തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയെ വർഗ്ഗീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് എന്ത് ലഭിക്കും?

ശരി, തീർച്ചയായും, !

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

എല്ലാം ലളിതമാണ്, അല്ലേ? റൂട്ട് മറ്റൊരു ഡിഗ്രിയിലാണെങ്കിൽ? ഇത് ഒകെയാണ്!

ഒരേ ലോജിക്കിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കുക, ഡിഗ്രികളോടെയുള്ള ഗുണങ്ങളും സാധ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഓർക്കുക.

"" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം വായിക്കുക, എല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് വളരെ വ്യക്തമാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പദപ്രയോഗം ഇതാ:

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ബിരുദം ഇരട്ടയാണ്, എന്നാൽ അത് വിചിത്രമായാലോ? വീണ്ടും, പവർ പ്രോപ്പർട്ടികൾ പ്രയോഗിക്കുക, എല്ലാം ഫാക്ടർ ചെയ്യുക:

ഇതോടെ, എല്ലാം വ്യക്തമായതായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഒരു ഡിഗ്രിയിലെ ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് റൂട്ട് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാം? ഇവിടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതാണ്:

വളരെ ലളിതമാണ്, അല്ലേ? ബിരുദം രണ്ടിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ? ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അതേ യുക്തി പിന്തുടരുന്നു:

ശരി, എല്ലാം വ്യക്തമാണോ? തുടർന്ന് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

കൂടാതെ ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ:

റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ആമുഖം

വേരുകളുമായി ചെയ്യാൻ നമ്മൾ പഠിക്കാത്തത്! റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നമ്പർ നൽകുന്നത് പരിശീലിക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ!

ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണ്!

നമുക്ക് ഒരു നമ്പർ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം

അത് കൊണ്ട് നമുക്ക് എന്ത് ചെയ്യാൻ കഴിയും? ശരി, തീർച്ചയായും, ട്രിപ്പിൾ റൂട്ടിന് കീഴിൽ മറയ്ക്കുക, ട്രിപ്പിൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട് ആണെന്ന് ഓർക്കുമ്പോൾ!

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾക്ക് അത് വേണ്ടത്? അതെ, ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കാൻ:

വേരുകളുടെ ഈ സ്വത്ത് നിങ്ങൾ എങ്ങനെ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു? ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കുന്നുവോ? എന്നെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം അത് ശരിയാണ്! മാത്രം സ്ക്വയർ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രമേ നൽകാനാകൂ എന്ന് നാം ഓർക്കണം.

നിങ്ങൾക്കായി ഈ ഉദാഹരണം പരീക്ഷിക്കുക:
നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ? നിങ്ങൾക്ക് എന്താണ് ലഭിക്കേണ്ടതെന്ന് നോക്കാം:

നന്നായി! റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നമ്പർ നൽകാൻ കഴിഞ്ഞു! തുല്യ പ്രാധാന്യമുള്ള ഒന്നിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം - ഒരു സ്ക്വയർ റൂട്ട് അടങ്ങിയ സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ താരതമ്യം ചെയ്യാമെന്ന് പരിഗണിക്കുക!

റൂട്ട് താരതമ്യം

ഒരു വർഗ്ഗമൂലമുള്ള സംഖ്യകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നമ്മൾ പഠിക്കേണ്ടത് എന്തുകൊണ്ട്?

വളരെ ലളിതം. പലപ്പോഴും, പരീക്ഷയിൽ നേരിടുന്ന വലുതും നീണ്ടതുമായ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ, നമുക്ക് യുക്തിരഹിതമായ ഉത്തരം ലഭിക്കും (അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഇതിനകം സംസാരിച്ചു!)

ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഏത് ഇടവേളയാണ് അനുയോജ്യമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ. ഇവിടെയാണ് സ്നാഗ് ഉണ്ടാകുന്നത്: പരീക്ഷയിൽ കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ല, അതില്ലാതെ, ഏത് സംഖ്യ വലുതും ചെറുതുമാണ് എന്ന് എങ്ങനെ സങ്കൽപ്പിക്കാം? അത്രയേയുള്ളൂ!

ഉദാഹരണത്തിന്, ഏതാണ് വലുതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക: അല്ലെങ്കിൽ?

നിങ്ങൾ ബാറ്റിൽ നിന്ന് ഉടൻ പറയില്ല. ശരി, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു സംഖ്യ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള പാഴ്സ് ചെയ്ത പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാമോ?

തുടർന്ന് മുന്നോട്ട്:

ശരി, വ്യക്തമായും, റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വലിയ സംഖ്യ, റൂട്ട് തന്നെ വലുതാണ്!

ആ. എങ്കിൽ അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഇതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് ഉറച്ചു നിഗമനം ചെയ്യുന്നു അല്ലാതെ ആരും നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തില്ല!

വലിയ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു

അതിനുമുമ്പ്, റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഘടകം അവതരിപ്പിച്ചു, പക്ഷേ അത് എങ്ങനെ പുറത്തെടുക്കാം? നിങ്ങൾ അത് ഫാക്ടർ ഔട്ട് ചെയ്‌ത് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്!

മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകാനും മറ്റ് ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിക്കാനും സാധിച്ചു:

മോശമല്ല, അല്ലേ? ഈ സമീപനങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ശരിയാണ്, നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ സുഖമെന്ന് തീരുമാനിക്കുക.

ഇതുപോലുള്ള നിലവാരമില്ലാത്ത ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഫാക്‌ടറിംഗ് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

ഞങ്ങൾ ഭയപ്പെടുന്നില്ല, ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു! റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള ഓരോ ഘടകങ്ങളെയും ഞങ്ങൾ പ്രത്യേക ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക (കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ! അത് പരീക്ഷയിൽ ഉണ്ടാകില്ല):

ഇത് അവസാനമാണോ? ഞങ്ങൾ പാതിവഴിയിൽ നിർത്തുന്നില്ല!

അത്രയേയുള്ളൂ, ഇത് ഭയാനകമല്ല, അല്ലേ?

സംഭവിച്ചത്? നന്നായി ചെയ്തു, നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്!

ഇപ്പോൾ ഈ ഉദാഹരണം പരീക്ഷിക്കുക:

ഒരു ഉദാഹരണം പൊട്ടാനുള്ള കഠിനമായ നട്ട് ആണ്, അതിനാൽ അതിനെ എങ്ങനെ സമീപിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പെട്ടെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും പല്ലിലാണ്.

ശരി, നമുക്ക് ഫാക്‌ടറിംഗ് ആരംഭിക്കാം, അല്ലേ? ഉടനടി, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു (വിഭജനത്തിന്റെ അടയാളങ്ങൾ ഓർക്കുക):

ഇപ്പോൾ, ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക (വീണ്ടും, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ!):

ശരി, അത് പ്രവർത്തിച്ചോ? നന്നായി ചെയ്തു, നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്!

സംഗ്രഹിക്കുന്നു

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം (ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം) വർഗ്ഗം തുല്യമായ ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
.
നമ്മൾ എന്തിന്റെയെങ്കിലും സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഫലം ലഭിക്കും.
ഗണിത മൂല ഗുണങ്ങൾ:
വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വലിയ സംഖ്യ, റൂട്ട് തന്നെ വലുതാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഇഷ്ടമാണ്? എല്ലാം വ്യക്തമാണോ?

സ്ക്വയർ റൂട്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള പരീക്ഷയിൽ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതെല്ലാം വെള്ളമില്ലാതെ വിശദീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിച്ചു.

ഇത് നിങ്ങളുടെ ഊഴമാണ്. ഈ വിഷയം നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടാണോ അല്ലയോ എന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് എഴുതുക.

നിങ്ങൾ പുതിയ എന്തെങ്കിലും പഠിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാം ഇതിനകം വ്യക്തമായിരുന്നു.

അഭിപ്രായങ്ങളിൽ എഴുതുക, പരീക്ഷകളിൽ ആശംസകൾ!

ഈ ലേഖനത്തിന്റെ മെറ്റീരിയൽ യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ വിഷയ പരിവർത്തനത്തിന്റെ ഭാഗമായി കണക്കാക്കണം. ഇവിടെ, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന എല്ലാ സൂക്ഷ്മതകളും സൂക്ഷ്മതകളും (അതിൽ ധാരാളം ഉണ്ട്) ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

വേരുകളുടെ സവിശേഷതകൾ ഓർക്കുക

വേരുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ പോകുന്നതിനാൽ, പ്രധാനമായവ ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അതിലും മികച്ചത്, അവ പേപ്പറിൽ എഴുതി നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ വയ്ക്കുക.

ആദ്യം, വർഗ്ഗമൂലങ്ങളും അവയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളും പഠിക്കുന്നു (a, b, a 1, a 2, ..., a k യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്):

പിന്നീട്, റൂട്ട് എന്ന ആശയം വിപുലീകരിച്ചു, nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടു, അത്തരം ഗുണങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു (a, b, a 1, a 2, ..., a k യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, m, n, n 1, n 2, ... , n k - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ):

റൂട്ട് ചിഹ്നങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള അക്കങ്ങളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു

പതിവുപോലെ, അവർ ആദ്യം സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ പഠിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ അവർ വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളിലേക്ക് നീങ്ങുകയുള്ളൂ. ഞങ്ങളും ഇത് ചെയ്യും, ആദ്യം വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും, അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കും.

പദപ്രയോഗങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഇത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം? വളരെ ലളിതമാണ്: ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് യുക്തിരഹിതമായ ഒരു പദപ്രയോഗം ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും. അതായത്, പരിവർത്തനം ചെയ്‌ത എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ ഏതെങ്കിലും ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌ത റൂട്ടുകളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ ഇടത് (വലത്) ഭാഗത്ത് നിന്നുള്ള എക്‌സ്‌പ്രഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു എക്‌സ്‌പ്രഷൻ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് വലത് (ഇടത്) ഭാഗത്ത് നിന്നുള്ള അനുബന്ധ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനമാണിത്.

കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി എടുക്കാം.

നമുക്ക് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാം . 3, 5, 7 എന്നീ സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ സുരക്ഷിതമായി പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്തമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള റൂട്ടിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, കൂടാതെ k=3 ഉള്ള ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള റൂട്ട്, ഈ സമീപനത്തിലൂടെ, പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

മറ്റൊരുവിധത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും, പകരം വയ്ക്കുന്നത്, തുടർന്ന് , ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

മറ്റ് പരിഹാരങ്ങൾ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. നമുക്ക് പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. വേരുകളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ ലിസ്റ്റ് നോക്കുമ്പോൾ, അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഇവിടെ ഉപയോഗപ്രദമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, ഏത് a യ്ക്കും സാധുതയുണ്ട്. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

പകരമായി, ഒരാൾക്ക് ആദ്യം റൂട്ട് ചിഹ്നങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം

തുടർന്ന് വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുക

ഈ പോയിന്റ് വരെ, വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. മറ്റ് സൂചകങ്ങളുള്ള വേരുകളുമായി പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സമയമാണിത്.

ഉദാഹരണം.

യുക്തിരഹിതമായ എക്സ്പ്രഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുക .

പരിഹാരം.

സ്വത്ത് പ്രകാരം തന്നിരിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആദ്യ ഘടകം −2 എന്ന സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

നീങ്ങുക. വസ്തുവിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ ഘടകത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, കൂടാതെ 81-നെ മൂന്നിന്റെ നാലിരട്ടി ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല, കാരണം വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങളിൽ നമ്പർ 3 ദൃശ്യമാകുന്നു:

ഫോമിന്റെ വേരുകളുടെ അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യയുടെ റൂട്ട് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്, അത് കൂടുതൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: . നമുക്ക് ഉണ്ട്

രണ്ട് ഉപയോഗിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയതിന് ശേഷമുള്ള ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഫോം എടുക്കും , അത് വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ അവശേഷിക്കുന്നു.

വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന്, അവ സാധാരണയായി ഒരു സൂചകമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അതിനായി എല്ലാ വേരുകളുടെയും സൂചകങ്ങൾ എടുക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, LCM(12, 6, 12)=12 , കൂടാതെ റൂട്ട് മാത്രം ഈ സൂചകത്തിലേക്ക് ചുരുക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം മറ്റ് രണ്ട് റൂട്ടുകൾക്ക് ഇതിനകം തന്നെ അത്തരമൊരു സൂചകം ഉണ്ട്. ഈ ടാസ്ക്കിനെ നേരിടാൻ തുല്യത അനുവദിക്കുന്നു, അത് വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് പ്രയോഗിക്കുന്നു. അങ്ങനെ . ഈ ഫലം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

ഇപ്പോൾ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ശേഷിക്കുന്ന, ഇതിനകം വ്യക്തമായ, പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

പരിഹാരത്തിന്റെ ഒരു ഹ്രസ്വ പതിപ്പ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഉത്തരം:

വേരുകളുടെ സവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് (a≥0, മുതലായവ) കീഴിലുള്ള സംഖ്യകളിൽ ഏർപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നിയന്ത്രണങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറയുന്നു. അവ അവഗണിക്കുന്നത് തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രോപ്പർട്ടി നോൺ-നെഗറ്റീവ് എ എന്നതിന് കൈവശം വച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി പോകാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 8 എന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായതിനാൽ. എന്നാൽ നമ്മൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ അർത്ഥവത്തായ റൂട്ട് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, , കൂടാതെ, മുകളിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, അപ്പോൾ നമ്മൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ −2 2 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും. തീർച്ചയായും, എ. അതായത്, നിഷേധാത്മകമായ a യ്‌ക്ക്, വേരുകളുടെ മറ്റ് ഗുണവിശേഷതകൾ അവയ്‌ക്കായി വ്യക്തമാക്കിയ വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കാതെ തെറ്റായി മാറുന്നതുപോലെ തുല്യത തെറ്റായിരിക്കാം.

എന്നാൽ മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ പറഞ്ഞതിന്റെ അർത്ഥം റൂട്ട് ചിഹ്നങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വേരുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ കഴിയില്ലെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തന നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ടോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒറ്റ ഡിഗ്രി റൂട്ടിന്റെ നിർവ്വചനം ഉപയോഗിച്ചോ അവ മുൻകൂട്ടി "തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്" . ഉദാഹരണത്തിന്, −2 ഉം −3 ഉം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളായതിനാൽ ഇത് ഉടനടി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ഇത് റൂട്ടിൽ നിന്ന് ലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് റൂട്ടിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കുക: . മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്നിൽ, പതിനെട്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിൽ നിന്ന് റൂട്ടിലേക്ക് നീങ്ങേണ്ടത് ഇതുപോലെയല്ല, ഇതുപോലെയാണ്. .

അതിനാൽ, വേരുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്

ലിസ്റ്റിൽ നിന്ന് ഉചിതമായ പ്രോപ്പർട്ടി തിരഞ്ഞെടുക്കുക,
റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക (അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്),
ഉദ്ദേശിച്ച പരിവർത്തനം നടത്തുകയും ചെയ്യുക.

റൂട്ട് ചിഹ്നങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷനുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു

റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള അക്കങ്ങൾ മാത്രമല്ല, വേരിയബിളുകളും അടങ്ങിയ യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന്, ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ ലിസ്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്ന റൂട്ടുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പ്രയോഗിക്കണം. സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളാൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ട വ്യവസ്ഥകളാണ് ഇതിന് കാരണം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, x≥0, x+1≥0 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന x മൂല്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമായി ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനാകും, കാരണം നിർദ്ദിഷ്ട ഫോർമുല a≥0, b≥ എന്നിവയ്ക്കായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. 0 .

ഈ അവസ്ഥകൾ അവഗണിക്കുന്നതിന്റെ അപകടമെന്താണ്? ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കുന്നു. x=−2 ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയാം. x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം −2 എന്ന സംഖ്യ ഉടനടി പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം ലഭിക്കും. . ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം, ചില പരിഗണനകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം ഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്തു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഞങ്ങൾ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ തീരുമാനിച്ചുള്ളൂ. ഞങ്ങൾ x-ന് പകരം −2 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റി പദപ്രയോഗത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു , അർത്ഥമില്ലാത്തത്.

എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പ്രഷനിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ x വേരിയബിളിന്റെ സാധുവായ മൂല്യങ്ങളുടെ (ODV) ശ്രേണിക്ക് എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. ഞങ്ങൾ ODZ നെ പരാമർശിച്ചത് യാദൃശ്ചികമല്ല, കാരണം ഇത് നടപ്പിലാക്കിയ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വീകാര്യത നിയന്ത്രിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഗുരുതരമായ ഉപകരണമാണ്, കൂടാതെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം ODZ മാറ്റുന്നത് കുറഞ്ഞത് ജാഗ്രത പാലിക്കണം. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കായി ODZ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. പദപ്രയോഗത്തിന്, ODZ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു x (x+1)≥0 , അതിന്റെ പരിഹാരം സംഖ്യാഗണം നൽകുന്നു (−∞, −1]∪∪∪

വലതുവശത്തോ ഇടതുവശത്തോ ഉള്ള അക്കങ്ങളിൽ അധിക നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല: ഗുണിത വേരുകൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ഉൽപ്പന്നവും നിലവിലുണ്ട്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഒരേസമയം അക്കങ്ങളുള്ള നാല് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ നിയമത്തിന്റെ പ്രധാന അർത്ഥം യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുക എന്നതാണ്. ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ പുതിയ നിയമങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ 25, 4 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുത്താൽ, ടിൻ ആരംഭിക്കുന്നു: $\sqrt(32)$, $\sqrt(2)$ എന്നിവ സ്വയം കണക്കാക്കില്ല, പക്ഷേ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു കൃത്യമായ ചതുരമായി മാറുന്നു, അതിനാൽ അതിന്റെ റൂട്ട് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

വെവ്വേറെ, അവസാനത്തെ വരി ശ്രദ്ധിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അവിടെ, രണ്ട് സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങളും ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്. ഉൽപ്പന്നത്തിന് നന്ദി, പല ഘടകങ്ങളും റദ്ദാക്കുന്നു, കൂടാതെ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും മതിയായ സംഖ്യയായി മാറുന്നു.

തീർച്ചയായും, എല്ലാം എല്ലായ്പ്പോഴും വളരെ മനോഹരമായിരിക്കില്ല. ചിലപ്പോൾ വേരുകൾക്ക് കീഴിൽ പൂർണ്ണമായ ക്രാപ്പ് ഉണ്ടാകും - ഇത് എന്തുചെയ്യണമെന്നും ഗുണനത്തിനുശേഷം എങ്ങനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താമെന്നും വ്യക്തമല്ല. കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ്, നിങ്ങൾ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, പൊതുവായി എല്ലാത്തരം വേരിയബിളുകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഉണ്ടാകും. മിക്കപ്പോഴും, പ്രശ്നങ്ങളുടെ കംപൈലറുകൾ നിങ്ങൾ ചില കരാർ വ്യവസ്ഥകളോ ഘടകങ്ങളോ കണ്ടെത്തുമെന്ന വസ്തുതയെ മാത്രം കണക്കാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം ചുമതല വളരെ ലളിതമാക്കും.

കൂടാതെ, കൃത്യമായി രണ്ട് വേരുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഒരേസമയം മൂന്ന്, നാല് - അതെ പത്ത് പോലും ഗുണിക്കാം! ഇത് ചട്ടം മാറ്റില്ല. ഒന്നു നോക്കൂ:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ വീണ്ടും ഒരു ചെറിയ പരാമർശം. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മൂന്നാമത്തെ ഗുണനത്തിൽ, റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട് - കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ പ്രക്രിയയിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു സാധാരണ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം എല്ലാം എളുപ്പത്തിൽ കുറയുന്നു. അതിനാൽ: ഏതെങ്കിലും യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ (അതായത്, കുറഞ്ഞത് ഒരു റാഡിക്കൽ ഐക്കണെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന) ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഇത് ഭാവിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ധാരാളം സമയവും ഞരമ്പുകളും ലാഭിക്കും.

പക്ഷേ, അതൊരു ഗാനരചനാപരമായ വ്യതിചലനമായിരുന്നു. ഇനി നമുക്ക് കൂടുതൽ പൊതുവായ ഒരു കേസ് പരിഗണിക്കാം - റൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണന്റിൽ $n$ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ, "ക്ലാസിക്കൽ" രണ്ട് മാത്രമല്ല.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സൂചകത്തിന്റെ കേസ്

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സ്ക്വയർ റൂട്ടുകൾ കണ്ടെത്തി. പിന്നെ ക്യൂബുകൾ എന്തുചെയ്യണം? അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവായി $n$ എന്ന ഏകപക്ഷീയമായ ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകളുണ്ടോ? അതെ, എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്. നിയമം അതേപടി തുടരുന്നു:

$n$ ഡിഗ്രിയുടെ രണ്ട് വേരുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിന്, അവയുടെ സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഗുണിച്ചാൽ മതിയാകും, അതിനുശേഷം ഫലം ഒരു റാഡിക്കലിന് കീഴിൽ എഴുതപ്പെടും.

പൊതുവേ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് കൂടുതലായില്ലെങ്കിൽ. നമുക്ക് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt((\ഇടത്(\frac(4)(25) \വലത്))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് വീണ്ടും ശ്രദ്ധ. ഞങ്ങൾ ക്യൂബ് വേരുകൾ ഗുണിക്കുന്നു, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കുന്നു, തൽഫലമായി, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ 625, 25 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം നമുക്ക് ലഭിക്കും, ഇത് വളരെ വലിയ സംഖ്യയാണ് - വ്യക്തിപരമായി, ഇത് തുല്യമാണെന്ന് ഞാൻ ഉടൻ കണക്കാക്കില്ല. വരെ.

അതിനാൽ, ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഞങ്ങൾ കൃത്യമായ ക്യൂബ് തിരഞ്ഞെടുത്തു, തുടർന്ന് $n$th ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ പ്രധാന ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്ന് (അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിർവചനം) ഉപയോഗിച്ചു:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1))=a; \\ & \sqrt(((എ)^(2n)))=\ഇടത്| ഒരു\വലത്|. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത്തരം "അതിക്രമങ്ങൾ" ഒരു പരീക്ഷയിലോ പരീക്ഷയിലോ നിങ്ങൾക്ക് ധാരാളം സമയം ലാഭിക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ഓർക്കുക:

റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനിലെ സംഖ്യകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്. ആദ്യം, പരിശോധിക്കുക: ഏതെങ്കിലും പദപ്രയോഗത്തിന്റെ കൃത്യമായ അളവ് അവിടെ "എൻക്രിപ്റ്റ്" ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും?

ഈ പരാമർശത്തിന്റെ എല്ലാ വ്യക്തതയോടും കൂടി, തയ്യാറാകാത്ത മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും പോയിന്റ് ബ്ലാങ്കിൽ കൃത്യമായ ഡിഗ്രികൾ കാണുന്നില്ല എന്ന് ഞാൻ സമ്മതിക്കണം. പകരം, അവർ മുന്നിലുള്ളതെല്ലാം വർദ്ധിപ്പിക്കും, തുടർന്ന് ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നു: എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർക്ക് ഇത്രയും ക്രൂരമായ സംഖ്യകൾ ലഭിച്ചത്? :)

എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ ഇപ്പോൾ പഠിക്കുന്നതിനെ അപേക്ഷിച്ച് ഇതെല്ലാം കുട്ടിക്കളിയാണ്.

വ്യത്യസ്ത ഘാതങ്ങളുള്ള വേരുകളുടെ ഗുണനം

ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വേരുകൾ ഗുണിക്കാം. സ്കോറുകൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? പറയൂ, നിങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് ഒരു സാധാരണ $\sqrt(2)$ നെ $\sqrt(23)$ പോലെയുള്ള ചില വിഡ്ഢികൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത്? ഇത് ചെയ്യാൻ പോലും സാധ്യമാണോ?

അതെ, തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. ഈ ഫോർമുല അനുസരിച്ചാണ് എല്ലാം ചെയ്യുന്നത്:

റൂട്ട് ഗുണന നിയമം. $\sqrt[n](a)$ നെ $\sqrt[p](b)$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനം ചെയ്യുക:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫോർമുല എങ്കിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ നെഗറ്റീവ് അല്ല. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പരാമർശമാണ്, അതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് മടങ്ങും.

ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ആവശ്യകത എവിടെ നിന്നാണ് വന്നതെന്നും അത് ലംഘിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്നും ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. :)

വേരുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തത്?

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് സ്‌കൂൾ അധ്യാപകരെപ്പോലെയാകാനും സ്‌മാർട്ട് ലുക്കിൽ ഒരു പാഠപുസ്തകം ഉദ്ധരിക്കാനും കഴിയും:

നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റിയുടെ ആവശ്യകത ഇരട്ട, ഒറ്റ ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകളുടെ വ്യത്യസ്ത നിർവചനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (യഥാക്രമം, അവയുടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളും വ്യത്യസ്തമാണ്).

ശരി, അത് കൂടുതൽ വ്യക്തമായി? വ്യക്തിപരമായി, എട്ടാം ക്ലാസിലെ ഈ അസംബന്ധം ഞാൻ വായിച്ചപ്പോൾ, എനിക്ക് ഇതുപോലൊന്ന് മനസ്സിലായി: “നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റിയുടെ ആവശ്യകത *#&^@(*#@^#)~% എന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു” - ചുരുക്കത്തിൽ, ഞാൻ അന്നൊന്നും മനസ്സിലായില്ല. :)

അതിനാൽ ഇപ്പോൾ ഞാൻ എല്ലാം ഒരു സാധാരണ രീതിയിൽ വിശദീകരിക്കും.

ആദ്യം, മുകളിലുള്ള ഗുണന സൂത്രവാക്യം എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, റൂട്ടിന്റെ ഒരു പ്രധാന സ്വത്ത് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))\]

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് റൂട്ട് എക്സ്പ്രഷൻ ഏത് സ്വാഭാവിക ശക്തിയായ $k$-ലേക്ക് സുരക്ഷിതമായി ഉയർത്താം - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റൂട്ട് സൂചികയെ അതേ ശക്തിയാൽ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഏതെങ്കിലും വേരുകൾ ഒരു പൊതു സൂചകത്തിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കും. ഇവിടെ നിന്നാണ് ഗുണന സൂത്രവാക്യം വരുന്നത്:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((എ)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

എന്നാൽ ഈ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും പ്രയോഗത്തെ ഗുരുതരമായി പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പ്രശ്നമുണ്ട്. ഈ നമ്പർ പരിഗണിക്കുക:

ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഏത് ബിരുദവും ചേർക്കാം. $k=2$ ചേർക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

\[\sqrt(-5)=\sqrt((\ഇടത്(-5 \വലത്))^(2))=\sqrt(((5)^(2)))\]

ചതുരം മൈനസിനെ കത്തിക്കുന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾ മൈനസ് നീക്കംചെയ്തു (മറ്റേതൊരു ഇരട്ട ഡിഗ്രി പോലെ). ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വിപരീത പരിവർത്തനം നടത്താം: എക്‌സ്‌പോണന്റിലും ഡിഗ്രിയിലും രണ്ടിനെയും "കുറക്കുക". എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഏത് സമത്വവും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടും വായിക്കാൻ കഴിയും:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt((((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k))=\sqrt[n ](എ); \\ & \sqrt(((എ)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്നാൽ ഭ്രാന്തമായ എന്തെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്നു:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

$\sqrt(-5) \lt 0$, $\sqrt(5) \gt 0$ എന്നിവ കാരണം ഇത് ആകരുത്. ശക്തികൾക്കും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും പോലും, ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല ഇനി പ്രവർത്തിക്കില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു മണ്ടൻ ശാസ്ത്രമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കാൻ മതിലിനെതിരെ പോരാടുന്നതിന്, "ചില നിയമങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ ഇത് കൃത്യമല്ല";
ഫോർമുല 100% പ്രവർത്തനക്ഷമമാകുന്ന അധിക നിയന്ത്രണങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുക.

ആദ്യ ഓപ്ഷനിൽ, ഞങ്ങൾ നിരന്തരം "ജോലി ചെയ്യാത്ത" കേസുകൾ പിടിക്കേണ്ടതുണ്ട് - ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും ദൈർഘ്യമേറിയതും പൊതുവെ ഫൂയുമാണ്. അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുത്തു. :)

എന്നാൽ വിഷമിക്കേണ്ട! പ്രായോഗികമായി, ഈ നിയന്ത്രണം കണക്കുകൂട്ടലുകളെ ഒരു തരത്തിലും ബാധിക്കില്ല, കാരണം വിവരിച്ച എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഒരു വിചിത്രമായ ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകളെ മാത്രം ബാധിക്കുന്നു, കൂടാതെ അവയിൽ നിന്ന് മൈനസുകൾ എടുക്കാൻ കഴിയും.

അതിനാൽ, വേരുകളുള്ള എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും പൊതുവായി ബാധകമാകുന്ന മറ്റൊരു നിയമം ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:

വേരുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.

ഉദാഹരണം. $\sqrt(-5)$ എന്ന നമ്പറിൽ, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് താഴെ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മൈനസ് എടുക്കാം - അപ്പോൾ എല്ലാം ശരിയാകും:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

വ്യത്യാസം അനുഭവിക്കു? നിങ്ങൾ റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു മൈനസ് വിട്ടാൽ, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ സ്ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ, അത് അപ്രത്യക്ഷമാകും, കൂടാതെ ക്രാപ്പ് ആരംഭിക്കും. നിങ്ങൾ ആദ്യം ഒരു മൈനസ് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, മുഖത്ത് നീല നിറമാകുന്നതുവരെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചതുരം ഉയർത്താനും നീക്കംചെയ്യാനും കഴിയും - നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആയി തുടരും. :)

അതിനാൽ, വേരുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ശരിയായതും വിശ്വസനീയവുമായ മാർഗ്ഗം ഇപ്രകാരമാണ്:

റാഡിക്കലുകളുടെ കീഴിൽ നിന്ന് എല്ലാ മൈനസുകളും നീക്കം ചെയ്യുക. മൈനസുകൾ വിചിത്രമായ ഗുണിതത്തിന്റെ വേരുകളിൽ മാത്രമാണ് - അവ റൂട്ടിന് മുന്നിൽ സ്ഥാപിക്കുകയും ആവശ്യമെങ്കിൽ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം (ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ മൈനസുകളിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടെങ്കിൽ).
ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഗുണനം നടത്തുക. വേരുകളുടെ സൂചികകൾ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, റൂട്ട് എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഗുണിക്കുക. അവ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ദുഷിച്ച ഫോർമുല \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. ഫലവും നല്ല ഗ്രേഡുകളും ഞങ്ങൾ ആസ്വദിക്കുന്നു. :)

നന്നായി? നമുക്ക് പരിശീലിച്ചാലോ?

ഉദാഹരണം 1. എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഇതാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഓപ്ഷൻ: വേരുകളുടെ സൂചകങ്ങൾ സമാനവും വിചിത്രവുമാണ്, പ്രശ്നം രണ്ടാമത്തെ ഗുണിതത്തിന്റെ മൈനസിൽ മാത്രമാണ്. ഈ മൈനസ് നഫിഗ് ഞങ്ങൾ സഹിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം എല്ലാം എളുപ്പത്തിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണം 2. എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt((\ഇടത്((2)^(5)) \വലത്))^(3))\cdot ((\ഇടത്((2)^(2)) \വലത്))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \ അവസാനം( വിന്യസിക്കുക)\]

ഇവിടെ, ഔട്ട്‌പുട്ട് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയായി മാറിയതിനാൽ പലരും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകും. അതെ, അത് സംഭവിക്കുന്നു: ഞങ്ങൾക്ക് റൂട്ട് പൂർണ്ണമായും ഒഴിവാക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല, പക്ഷേ കുറഞ്ഞത് ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കി.

ഉദാഹരണം 3. എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\ഇടത്((((\)) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((എ)^(27)))=\sqrt(((എ)^(3\cdot 9))=\sqrt((((എ)^(3))) \end(align)\]

ഇതാണ് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്. ഇവിടെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്:

റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയോ ഡിഗ്രിയോ അല്ല, വേരിയബിൾ $a$ ആണ്. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഇത് അൽപ്പം അസാധാരണമാണ്, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ മിക്കപ്പോഴും വേരിയബിളുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടിവരും.
അവസാനം, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനിലെ റൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണന്റും ഡിഗ്രിയും "കുറയ്ക്കാൻ" ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു. ഇത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കാറുണ്ട്. നിങ്ങൾ പ്രധാന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\ഇടത്(((എ))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((എ)^(9)))=\sqrt((((എ)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((എ)^(3))) \ \\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും രണ്ടാമത്തെ റാഡിക്കലുമായി മാത്രമാണ് നടത്തിയത്. നിങ്ങൾ എല്ലാ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ഘട്ടങ്ങളും വിശദമായി വരയ്ക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അവസാനം കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയും.

വാസ്തവത്തിൽ, $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മുകളിൽ സമാനമായ ഒരു ടാസ്ക് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഇത് വളരെ എളുപ്പത്തിൽ എഴുതാം:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt((( (\ഇടത്(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt((\ഇടത്(75 \വലത്))^(2))) =\sqrt(75). \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ശരി, വേരുകളുടെ ഗുണനം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഇപ്പോൾ വിപരീത പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക: റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു ജോലി ഉണ്ടാകുമ്പോൾ എന്തുചെയ്യണം?

റൂട്ട്എൻബിരുദവും അതിന്റെ പ്രധാന ഗുണങ്ങളും

ഡിഗ്രിയഥാർത്ഥ സംഖ്യ എഒരു സ്വാഭാവിക സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് പിഒരു ജോലിയുണ്ട് പിഘടകങ്ങൾ, ഓരോന്നും തുല്യമാണ് a:

a1 = a; a2 = a a; എ എൻ =

ഉദാഹരണത്തിന്,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

അഞ്ച് പ്രാവശ്യം

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 തവണ

യഥാർത്ഥ നമ്പർ എവിളിച്ചു ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനംകൂടാതെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n - ഡിഗ്രി സൂചകം.

സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു: ഏതെങ്കിലും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ അളവ് പിഇ എൻപോസിറ്റീവ്; ഇരട്ട ഘാതം ഉള്ള ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ അളവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, ഒറ്റ സംഖ്യയിൽ അത് നെഗറ്റീവ് ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

ഇനിപ്പറയുന്നവ അനുസരിച്ച് ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു നിയമങ്ങൾ.

1. ഒരേ അടിത്തറയിൽ ശക്തികളെ ഗുണിക്കാൻ, ഘാതകങ്ങൾ ചേർത്താൽ മതി, അടിസ്ഥാനം അതേപടി വിടുക, അതായത്

ഉദാഹരണത്തിന്, p5∙p3 = p5+3 =p8

2. ഡിവിഡന്റ് ഇൻഡിക്കേറ്ററിൽ നിന്ന് ഡിവിസർ ഇൻഡിക്കേറ്റർ കുറച്ചാൽ മതി, അതേ ബേസുകളുള്ള ഡിഗ്രികൾ വിഭജിക്കുന്നതിന്, അടിസ്ഥാനം അതേപടി വിടുക, അതായത്

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">

2. ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ, ഘാതകങ്ങളെ ഗുണിച്ചാൽ മതി, അടിസ്ഥാനം അതേപടി നിലനിർത്തുക, അതായത്

(എപി)എം = പിയിൽ.ഉദാഹരണത്തിന്, (23)2 = 26.

4. ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ, ഓരോ ഘടകങ്ങളും ഈ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി ഫലങ്ങൾ ഗുണിച്ചാൽ മതി, അതായത്

(എ ബി)പി= ഒരു ∙ബിപി.

ഉദാഹരണത്തിന്, (2y3)2= 4y6.

5. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും വെവ്വേറെ ഈ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി ആദ്യത്തെ ഫലത്തെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതി, അതായത്

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് വായിക്കാൻ ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാകുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവ നിയമങ്ങളായി മാറുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, കേസ് 4 ൽ, apvp= (av) പിഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ലഭിക്കും: വരെ ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുപയോഗിച്ച് ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, ഘാതം അതേപടി ഉപേക്ഷിച്ച് ബേസുകളെ ഗുണിച്ചാൽ മതിയാകും.

ഈ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഫലപ്രദമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുമ്പോൾ

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

നമ്മൾ ഇപ്പോൾ ഒരു റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം നൽകുന്നു.

ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് എഒരു യഥാർത്ഥ നമ്പർ വിളിച്ചു X,ആരുടെ nth ശക്തി എ.

സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി, ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്നും ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ മൂലത്തിന്റെ രണ്ട് വിപരീത മൂല്യങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 ഉം -4 ഉം 16 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളാണ്. , മുതൽ (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, കൂടാതെ 3, -3 എന്നീ സംഖ്യകൾ 81 ന്റെ നാലാമത്തെ വേരുകളാണ്, കാരണം (-3)4 = 34 = 81.

കൂടാതെ, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് പോലും ഇല്ല, കാരണം ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെയും ഇരട്ട ശക്തി നെഗറ്റീവ് അല്ല. ഒരു ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും ഈ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 എന്നത് 27 ന്റെ മൂന്നാമത്തെ മൂലമാണ്, കാരണം Z3 = 27, -2 എന്നത് -32 ന്റെ അഞ്ചാമത്തെ മൂലമാണ്, കാരണം (-2)5 = 32.

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ രണ്ട് വേരുകൾ ഉള്ളതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, റൂട്ടിന്റെ ഈ അവ്യക്തത ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു ഗണിത റൂട്ട് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ n-th റൂട്ടിന്റെ നോൺ-നെഗറ്റീവ് മൂല്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത റൂട്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ വേരുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഗണിതമായി കണക്കാക്കുമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

റൂട്ടിന്റെ സൂചകങ്ങളും റൂട്ട് എക്സ്പ്രഷന്റെ ഡിഗ്രിയും ഒരേ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ റൂട്ടിന്റെ മൂല്യം മാറില്ല, അതായത്

ഉദാഹരണം 7. ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക ഒപ്പം