Saya melihat sekali lagi pada pinggan ... Dan, mari pergi!
Mari kita mulakan dengan yang mudah:
Tunggu sekejap. ini, yang bermaksud kita boleh menulisnya seperti ini:
faham? Inilah yang seterusnya untuk anda:
Akar nombor yang terhasil tidak betul-betul diekstrak? Jangan risau, berikut adalah beberapa contoh:
Tetapi bagaimana jika tidak ada dua pengganda, tetapi lebih? Sama! Formula pendaraban akar berfungsi dengan beberapa faktor:
Kini bebas sepenuhnya:
Jawapan: Bagus! Setuju, semuanya sangat mudah, perkara utama ialah mengetahui jadual pendaraban!
Pembahagian akar
Kami memikirkan pendaraban akar, sekarang mari kita meneruskan ke harta pembahagian.
Biar saya ingatkan anda bahawa formula secara umum kelihatan seperti ini:
Dan itu bermakna punca hasil bagi adalah sama dengan hasil bagi punca.
Nah, mari kita lihat contoh:
Itu semua ilmu. Dan inilah contoh:
Segala-galanya tidak lancar seperti dalam contoh pertama, tetapi seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit.
Bagaimana jika ungkapan kelihatan seperti ini:
Anda hanya perlu menggunakan formula secara terbalik:
Dan inilah contoh:
Anda juga boleh melihat ungkapan ini:
Semuanya adalah sama, hanya di sini anda perlu ingat bagaimana untuk menterjemah pecahan (jika anda tidak ingat, lihat topik dan kembali!). teringat? Sekarang kita buat keputusan!
Saya yakin bahawa anda mengatasi segala-galanya, segala-galanya, sekarang mari kita cuba membina akar dalam ijazah.
Eksponensiasi
Apakah yang berlaku jika punca kuasa dua adalah kuasa dua? Mudah sahaja, ingat maksud punca kuasa dua nombor - ini ialah nombor yang punca kuasa duanya sama dengan.
Jadi, jika kita kuasai nombor yang punca kuasa duanya sama, maka apa yang kita dapat?
Sudah tentu, !
Mari lihat contoh:
Semuanya mudah, bukan? Dan jika akarnya berada dalam tahap yang berbeza? Tidak mengapa!
Berpegang kepada logik yang sama dan ingat sifat dan tindakan yang mungkin dengan kuasa.
Baca teori mengenai topik "" dan semuanya akan menjadi sangat jelas kepada anda.
Sebagai contoh, berikut ialah ungkapan:
Dalam contoh ini, ijazah adalah genap, tetapi bagaimana jika ia ganjil? Sekali lagi, gunakan sifat kuasa dan faktorkan segala-galanya:
Dengan ini, segala-galanya nampaknya jelas, tetapi bagaimana untuk mengekstrak akar dari nombor dalam ijazah? Di sini, sebagai contoh, adalah ini:
Cukup mudah, bukan? Bagaimana jika ijazah lebih daripada dua? Kami mengikuti logik yang sama menggunakan sifat darjah:
Nah, adakah semuanya jelas? Kemudian selesaikan contoh anda sendiri:
Dan inilah jawapannya:
Pengenalan di bawah tanda akar
Apa yang kita belum belajar lakukan dengan akarnya! Ia kekal hanya untuk berlatih memasukkan nombor di bawah tanda akar!
Ia agak mudah!
Katakan kita ada nombor
Apa yang boleh kita lakukan dengannya? Sudah tentu, sembunyikan rangkap tiga di bawah akar, sambil mengingati bahawa rangkap tiga ialah punca kuasa dua!
Mengapa kita memerlukannya? Ya, hanya untuk mengembangkan keupayaan kami semasa menyelesaikan contoh:
Bagaimanakah anda menyukai sifat akar ini? Menjadikan hidup lebih mudah? Bagi saya, betul! Sahaja kita mesti ingat bahawa kita hanya boleh memasukkan nombor positif di bawah tanda punca kuasa dua.
Cuba contoh ini untuk diri sendiri:
Adakah anda berjaya? Mari lihat apa yang anda patut dapat:
Bagus! Anda berjaya memasukkan nombor di bawah tanda akar! Mari kita beralih kepada sesuatu yang sama penting - pertimbangkan cara membandingkan nombor yang mengandungi punca kuasa dua!
Perbandingan Akar
Mengapa kita perlu belajar membandingkan nombor yang mengandungi punca kuasa dua?
Sangat ringkas. Selalunya, dalam ungkapan besar dan panjang yang ditemui dalam peperiksaan, kita mendapat jawapan yang tidak rasional (adakah anda ingat apa itu? Kita sudah bercakap tentang ini hari ini!)
Kita perlu meletakkan jawapan yang diterima pada garis koordinat, sebagai contoh, untuk menentukan selang mana yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan. Dan di sinilah masalah timbul: tidak ada kalkulator pada peperiksaan, dan tanpa itu, bagaimana untuk membayangkan nombor mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil? Itu sahaja!
Sebagai contoh, tentukan yang mana lebih besar: atau?
Anda tidak akan berkata begitu sahaja. Baiklah, mari kita gunakan sifat yang dihuraikan untuk menambah nombor di bawah tanda akar?
Kemudian ke hadapan:
Sudah tentu, semakin besar nombor di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri!
Itu. jika bermakna.
Daripada ini kami dengan tegas membuat kesimpulan bahawa Dan tiada siapa yang akan meyakinkan kita sebaliknya!
Mengeluarkan akar daripada jumlah yang banyak
Sebelum itu, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda akar, tetapi bagaimana untuk mengeluarkannya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstrak!
Ia adalah mungkin untuk pergi ke arah lain dan terurai menjadi faktor lain:
Tidak buruk, bukan? Mana-mana pendekatan ini adalah betul, tentukan bagaimana anda berasa selesa.
Pemfaktoran sangat berguna apabila menyelesaikan tugas bukan standard seperti ini:
Kami tidak takut, kami bertindak! Kami menguraikan setiap faktor di bawah akar kepada faktor yang berasingan:
Dan sekarang cuba sendiri (tanpa kalkulator! Ia tidak akan masuk dalam peperiksaan):
Adakah ini penghujungnya? Kami tidak berhenti separuh jalan!
Itu sahaja, ia tidak begitu menakutkan, bukan?
Terjadi? Syabas, anda betul!
Sekarang cuba contoh ini:
Dan contohnya adalah kacang yang sukar untuk dipecahkan, jadi anda tidak dapat memikirkan cara untuk mendekatinya dengan segera. Tetapi kita, sudah tentu, berada di gigi.
Baiklah, mari kita mulakan pemfaktoran, boleh? Dengan serta-merta, kami ambil perhatian bahawa anda boleh membahagikan nombor dengan (ingat tanda kebolehbahagiaan):
Dan sekarang, cuba sendiri (sekali lagi, tanpa kalkulator!):
Nah, adakah ia berjaya? Syabas, anda betul!
Menjumlahkan
- Punca kuasa dua (punca kuasa dua aritmetik) bagi nombor bukan negatif ialah nombor bukan negatif yang kuasa duanya adalah sama.
. - Jika kita hanya mengambil punca kuasa dua sesuatu, kita sentiasa mendapat satu hasil bukan negatif.
- Sifat akar aritmetik:
- Apabila membandingkan punca kuasa dua, perlu diingat bahawa semakin besar nombor di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri.
Bagaimanakah anda menyukai punca kuasa dua? Semua siap?
Kami cuba menerangkan kepada anda tanpa air semua yang anda perlu ketahui dalam peperiksaan tentang punca kuasa dua.
Sekarang giliran anda. Tulis kepada kami sama ada topik ini sukar untuk anda atau tidak.
Adakah anda belajar sesuatu yang baru atau semuanya sudah begitu jelas.
Tulis dalam komen dan semoga berjaya dalam peperiksaan!
Bahan artikel ini harus dipertimbangkan sebagai sebahagian daripada transformasi topik ungkapan tidak rasional. Di sini, menggunakan contoh, kami akan menganalisis semua kehalusan dan nuansa (yang terdapat banyak) yang timbul semasa melakukan transformasi berdasarkan sifat akar.
Navigasi halaman.
Ingat sifat-sifat akar
Oleh kerana kita akan menangani transformasi ungkapan menggunakan sifat akar, tidak ada salahnya untuk mengingati yang utama, atau lebih baik lagi, tuliskannya di atas kertas dan letakkannya di hadapan anda.
Pertama, punca kuasa dua dan sifat berikut dikaji (a, b, a 1, a 2, ..., a k ialah nombor nyata):
Dan kemudian, idea akar diperluaskan, definisi akar darjah ke-n diperkenalkan, dan sifat sedemikian dipertimbangkan (a, b, a 1, a 2, ..., a k ialah nombor nyata, m, n, n 1, n 2, ... , n k - nombor asli):
Menukar ungkapan dengan nombor di bawah tanda akar
Seperti biasa, mereka mula-mula belajar untuk bekerja dengan ungkapan berangka, dan hanya selepas itu mereka beralih kepada ungkapan dengan pembolehubah. Kami akan melakukan perkara yang sama, dan mula-mula kami akan berurusan dengan transformasi ungkapan tidak rasional yang mengandungi hanya ungkapan berangka di bawah tanda akar, dan lebih jauh lagi dalam perenggan seterusnya kami akan memperkenalkan pembolehubah di bawah tanda akar.
Bagaimanakah ini boleh digunakan untuk mengubah ungkapan? Sangat mudah: sebagai contoh, kita boleh menggantikan ungkapan tidak rasional dengan ungkapan, atau sebaliknya. Iaitu, jika ungkapan yang ditukar mengandungi ungkapan yang sepadan dengan ungkapan dari bahagian kiri (kanan) mana-mana sifat akar yang disenaraikan, maka ia boleh digantikan dengan ungkapan yang sepadan dari bahagian kanan (kiri). Ini ialah transformasi ungkapan menggunakan sifat akar.
Mari kita ambil beberapa contoh lagi.
Mari kita permudahkan ungkapan 
. Nombor 3, 5 dan 7 adalah positif, jadi kita boleh menggunakan sifat akar dengan selamat. Di sini anda boleh bertindak secara berbeza. Sebagai contoh, punca berasaskan harta boleh diwakili sebagai , dan punca berasaskan harta dengan k=3 sebagai , dengan pendekatan ini, penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini: 
Ia adalah mungkin untuk melakukan sebaliknya, menggantikan dengan , dan kemudian dengan , dalam kes ini penyelesaiannya akan kelihatan seperti ini: 
Penyelesaian lain mungkin, contohnya:
Mari kita lihat contoh lain. Mari kita ubah ekspresi. Melihat senarai sifat akar, kami memilih daripadanya sifat yang kami perlukan untuk menyelesaikan contoh, jelas bahawa dua daripadanya dan berguna di sini, yang sah untuk mana-mana a . Kami ada: 
Sebagai alternatif, seseorang boleh terlebih dahulu mengubah ungkapan di bawah tanda akar menggunakan 
dan kemudian gunakan sifat-sifat akar
Sehingga tahap ini, kami telah menukar ungkapan yang mengandungi punca kuasa dua sahaja. Sudah tiba masanya untuk bekerja dengan akar yang mempunyai penunjuk lain.
Contoh.
Mengubah Ungkapan Tidak Rasional 
.
Penyelesaian.
Dengan harta 
faktor pertama produk tertentu boleh digantikan dengan nombor −2: 
Teruskan. Berdasarkan harta itu, faktor kedua boleh diwakili sebagai, dan tidak ada salahnya untuk menggantikan 81 dengan kuasa empat kali ganda tiga, kerana nombor 3 muncul dalam faktor yang tinggal di bawah tanda-tanda akar: 
Adalah dinasihatkan untuk menggantikan punca pecahan dengan nisbah punca bentuk , yang boleh diubah lagi: 
. Kami ada
Ungkapan yang terhasil selepas melakukan operasi dengan dua akan berbentuk , dan ia kekal untuk mengubah hasil darab akar.
Untuk mengubah produk akar, mereka biasanya dikurangkan kepada satu penunjuk, yang mana adalah dinasihatkan untuk mengambil penunjuk semua akar. Dalam kes kami, LCM(12, 6, 12)=12 , dan hanya punca perlu dikurangkan kepada penunjuk ini, kerana dua punca lain sudah mempunyai penunjuk sedemikian. Untuk mengatasi tugas ini membolehkan kesaksamaan, yang digunakan dari kanan ke kiri. Jadi . Memandangkan keputusan ini, kami ada 
Sekarang produk akar boleh digantikan oleh akar produk dan baki, sudah jelas, transformasi boleh dilakukan: 
Mari buat versi pendek penyelesaian: 
Jawapan:
.
Secara berasingan, kami menekankan bahawa untuk menggunakan sifat akar, perlu mengambil kira sekatan yang dikenakan ke atas nombor di bawah tanda akar (a≥0, dll.). Mengabaikan mereka boleh membawa kepada keputusan yang salah. Sebagai contoh, kita tahu bahawa harta itu dipegang untuk bukan negatif a . Berdasarkan itu, kita boleh pergi dengan selamat, contohnya, dari ke, kerana 8 ialah nombor positif. Tetapi jika kita mengambil punca bermakna bagi nombor negatif, contohnya, , dan, berdasarkan sifat di atas, gantikannya dengan , maka kita sebenarnya akan menggantikan −2 dengan 2 . Sesungguhnya, , a . Iaitu, untuk negatif a, kesamaan mungkin palsu, sama seperti sifat akar lain mungkin palsu tanpa mengambil kira syarat yang ditentukan untuknya.
Tetapi apa yang dikatakan dalam perenggan sebelumnya tidak bermakna sama sekali bahawa ungkapan dengan nombor negatif di bawah tanda akar tidak boleh diubah menggunakan sifat akar. Mereka hanya perlu "disediakan" terlebih dahulu dengan menggunakan peraturan operasi dengan nombor atau menggunakan definisi punca darjah ganjil daripada nombor negatif, yang sepadan dengan kesamaan , di mana −a ialah nombor negatif (manakala a positif) . Sebagai contoh, ia tidak boleh digantikan dengan serta-merta dengan , kerana −2 dan −3 ialah nombor negatif, tetapi ia membenarkan kita beralih dari punca ke , dan kemudian menggunakan sifat punca daripada hasil darab: 
. Dan dalam salah satu contoh sebelumnya, adalah perlu untuk bergerak dari akar ke akar darjah kelapan belas bukan seperti ini, tetapi seperti ini 
.
Jadi, untuk mengubah ungkapan menggunakan sifat akar, anda perlu
- pilih harta yang sesuai daripada senarai,
- pastikan nombor di bawah akar memenuhi syarat untuk harta yang dipilih (jika tidak, anda perlu melakukan transformasi awal),
- dan melaksanakan transformasi yang dimaksudkan.
Menukar ungkapan dengan pembolehubah di bawah tanda akar
Untuk mengubah ungkapan tidak rasional yang mengandungi bukan sahaja nombor tetapi juga pembolehubah di bawah tanda akar, sifat akar yang disenaraikan dalam perenggan pertama artikel ini mesti digunakan dengan berhati-hati. Ini sebahagian besarnya disebabkan oleh syarat yang mesti dipenuhi oleh nombor yang terlibat dalam formula. Sebagai contoh, berdasarkan formula , ungkapan boleh digantikan dengan ungkapan hanya untuk nilai x yang memenuhi syarat x≥0 dan x+1≥0 , kerana formula yang ditentukan ditetapkan untuk a≥0 dan b≥ 0 .
Apakah bahaya mengabaikan syarat-syarat ini? Jawapan kepada soalan ini jelas ditunjukkan oleh contoh berikut. Katakan kita perlu mengira nilai ungkapan apabila x=−2 . Jika kita segera menggantikan nombor −2 dan bukannya pembolehubah x, maka kita mendapat nilai yang kita perlukan 
. Dan sekarang mari kita bayangkan bahawa, berdasarkan beberapa pertimbangan, kami menukar ungkapan yang diberikan kepada bentuk , dan hanya selepas itu kami memutuskan untuk mengira nilai. Kami menggantikan nombor −2 bukannya x dan tiba pada ungkapan 
, yang tidak masuk akal.
Mari kita lihat apa yang berlaku kepada julat nilai sah (ODV) pembolehubah x semasa kita bergerak dari ungkapan ke ungkapan. Kami menyebut ODZ bukan secara kebetulan, kerana ini adalah alat yang serius untuk mengawal kebolehterimaan transformasi yang dilakukan, dan menukar ODZ selepas transformasi ungkapan harus sekurang-kurangnya berwaspada. Tidak sukar untuk mencari ODZ untuk ungkapan ini. Untuk ungkapan, ODZ ditentukan daripada ketaksamaan x (x+1)≥0 , penyelesaiannya memberikan set berangka (−∞, −1]∪∪∪
Tiada sekatan tambahan dikenakan ke atas nombor di sebelah kanan atau kiri: jika punca pengganda wujud, maka produk itu juga wujud.
Contoh. Pertimbangkan empat contoh dengan nombor sekaligus:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]
Seperti yang anda lihat, maksud utama peraturan ini adalah untuk memudahkan ungkapan tidak rasional. Dan jika dalam contoh pertama kita akan mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa sebarang peraturan baru, maka timah bermula: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dikira dengan sendirinya, tetapi hasil darab mereka menjadi kuasa dua tepat, jadi puncanya adalah sama dengan nombor rasional.
Secara berasingan, saya ingin perhatikan baris terakhir. Di sana, kedua-dua ungkapan radikal adalah pecahan. Terima kasih kepada produk, banyak faktor membatalkan, dan keseluruhan ungkapan bertukar menjadi nombor yang mencukupi.
Sudah tentu, tidak semuanya akan sentiasa indah. Kadang-kadang akan ada omong kosong yang lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang perlu dilakukan dengannya dan bagaimana untuk berubah selepas pendaraban. Tidak lama kemudian, apabila anda mula mengkaji persamaan tidak rasional dan ketaksamaan, akan terdapat pelbagai pembolehubah dan fungsi secara umum. Dan selalunya, penyusun masalah hanya bergantung pada fakta bahawa anda akan menemui beberapa syarat atau faktor kontrak, selepas itu tugas itu akan dipermudahkan.
Di samping itu, tidak perlu membiak tepat dua akar. Anda boleh mendarab tiga sekali gus, empat - ya malah sepuluh! Ini tidak akan mengubah peraturan. Tengoklah:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]
Dan sekali lagi ucapan kecil pada contoh kedua. Seperti yang anda lihat, dalam pengganda ketiga, terdapat pecahan perpuluhan di bawah akar - dalam proses pengiraan, kami menggantikannya dengan yang biasa, selepas itu semuanya mudah dikurangkan. Jadi: Saya amat mengesyorkan agar anda menyingkirkan pecahan perpuluhan dalam sebarang ungkapan tidak rasional (iaitu, mengandungi sekurang-kurangnya satu ikon radikal). Ini akan menjimatkan banyak masa dan saraf anda pada masa hadapan.
Tetapi ia adalah penyimpangan lirik. Sekarang mari kita pertimbangkan kes yang lebih umum - apabila eksponen akar mengandungi nombor arbitrari $n$, dan bukan hanya dua "klasik".
Kes penunjuk sewenang-wenangnya
Jadi, kami telah mengetahui punca kuasa dua. Dan apa yang perlu dilakukan dengan kiub? Atau secara umum dengan akar darjah sewenang-wenang $n$? Ya, semuanya sama. Peraturannya tetap sama:
Untuk mendarab dua punca darjah $n$, sudah cukup untuk mendarabkan ungkapan radikalnya, selepas itu hasilnya ditulis di bawah satu radikal.
Secara umum, tidak ada yang rumit. Melainkan isipadu pengiraan boleh lebih. Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh. Kira produk:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]
Dan sekali lagi perhatian kepada ungkapan kedua. Kami mendarabkan punca kubus, menyingkirkan pecahan perpuluhan, dan sebagai hasilnya kami mendapat hasil darab nombor 625 dan 25 dalam penyebut. Ini adalah nombor yang agak besar - secara peribadi, saya tidak akan segera mengira apa yang sama. kepada.
Oleh itu, kami hanya memilih kubus tepat dalam pengangka dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu sifat utama (atau, jika anda suka, takrifan) punca darjah $n$th:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\kanan|. \\ \end(align)\]
"Penipuan" sedemikian boleh menjimatkan banyak masa anda pada peperiksaan atau ujian, jadi ingat:
Jangan tergesa-gesa untuk mendarab nombor dalam ungkapan radikal. Mula-mula, semak: bagaimana jika tahap sebenar mana-mana ungkapan "disulitkan" di sana?
Dengan semua kenyataan ini yang jelas, saya harus mengakui bahawa kebanyakan pelajar yang tidak bersedia menunjuk kosong tidak melihat darjah yang tepat. Sebaliknya, mereka mendarabkan segala-galanya di hadapan, dan kemudian tertanya-tanya: mengapa mereka mendapat nombor yang kejam? :)
Namun, semua ini adalah permainan kanak-kanak berbanding apa yang akan kita kaji sekarang.
Pendaraban akar dengan eksponen yang berbeza
Nah, sekarang kita boleh mendarabkan punca dengan eksponen yang sama. Bagaimana jika markah berbeza? Katakan, bagaimana anda mendarabkan $\sqrt(2)$ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Adakah mungkin untuk melakukan ini?
Ya, sudah tentu boleh. Semuanya dilakukan mengikut formula ini:
Peraturan pendaraban akar. Untuk mendarab $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, lakukan sahaja penjelmaan berikut:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Walau bagaimanapun, formula ini hanya berfungsi jika ungkapan radikal adalah bukan negatif. Ini adalah kenyataan yang sangat penting, yang kami akan kembali sedikit kemudian.
Buat masa ini, mari kita lihat beberapa contoh:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]
Seperti yang anda lihat, tiada yang rumit. Sekarang mari kita fikirkan dari mana datangnya keperluan bukan negatif, dan apa yang akan berlaku jika kita melanggarnya. :)
Mudah untuk membiak akar. Mengapakah ungkapan radikal mestilah bukan negatif?
Sudah tentu, anda boleh menjadi seperti guru sekolah dan memetik buku teks dengan rupa yang bijak:
Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan takrif akar genap dan darjah ganjil yang berbeza (masing-masing, domain takrifan mereka juga berbeza).
Nah, ia menjadi lebih jelas? Secara peribadi, apabila saya membaca karut ini dalam darjah 8, saya memahami sendiri sesuatu seperti ini: "Keperluan bukan negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)~%" - ringkasnya, saya tak faham langsung masa tu. :)
Jadi sekarang saya akan menerangkan semuanya dengan cara biasa.
Mula-mula, mari kita ketahui dari mana datangnya formula pendaraban di atas. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan anda tentang satu sifat penting akar:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Dalam erti kata lain, kita boleh menaikkan ungkapan akar kepada mana-mana kuasa semula jadi $k$ - dalam kes ini, indeks akar perlu didarab dengan kuasa yang sama. Oleh itu, kita boleh dengan mudah mengurangkan mana-mana akar kepada penunjuk biasa, selepas itu kita membiak. Di sinilah formula pendaraban berasal:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Tetapi terdapat satu masalah yang sangat mengehadkan penggunaan semua formula ini. Pertimbangkan nombor ini:
Mengikut formula yang baru diberikan, kita boleh menambah apa-apa ijazah. Mari cuba tambah $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\kiri(-5 \kanan))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Kami mengeluarkan tolak dengan tepat kerana segi empat sama membakar tolak (seperti mana-mana darjah genap yang lain). Dan sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangkan" kedua-duanya dalam eksponen dan darjah. Lagipun, sebarang kesamaan boleh dibaca dari kiri ke kanan dan kanan ke kiri:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]
Tetapi kemudian sesuatu yang gila berlaku:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Ini tidak boleh kerana $\sqrt(-5) \lt 0$ dan $\sqrt(5) \gt 0$. Ini bermakna untuk kuasa genap dan nombor negatif, formula kami tidak lagi berfungsi. Selepas itu kita mempunyai dua pilihan:
- Untuk melawan tembok untuk menyatakan bahawa matematik adalah sains yang bodoh, di mana "terdapat beberapa peraturan, tetapi ini tidak tepat";
- Memperkenalkan sekatan tambahan di mana formula akan berfungsi 100%.
Dalam pilihan pertama, kita perlu sentiasa menangkap kes "tidak berfungsi" - ini sukar, panjang dan secara amnya fu. Oleh itu, ahli matematik memilih pilihan kedua. :)
Tetapi jangan risau! Dalam praktiknya, sekatan ini tidak menjejaskan pengiraan dalam apa cara sekalipun, kerana semua masalah yang diterangkan hanya melibatkan akar tahap ganjil, dan tolak boleh dikeluarkan daripadanya.
Oleh itu, kami merumuskan peraturan lain yang digunakan secara umum untuk semua tindakan dengan akar:
Sebelum mendarabkan akar, pastikan bahawa ungkapan radikal adalah bukan negatif.
Contoh. Dalam nombor $\sqrt(-5)$, anda boleh mengeluarkan tolak dari bawah tanda akar - maka semuanya akan baik-baik saja:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Rasai kelainannya? Jika anda meninggalkan tolak di bawah akar, maka apabila ungkapan radikal kuasa dua, ia akan hilang, dan omong kosong akan bermula. Dan jika anda mula-mula mengeluarkan tolak, maka anda juga boleh menaikkan / mengeluarkan segi empat sama sehingga anda menjadi biru di muka - nombor itu akan kekal negatif. :)
Oleh itu, cara yang paling betul dan paling boleh dipercayai untuk mendarabkan akar adalah seperti berikut:
- Keluarkan semua minus dari bawah radikal. Tolak hanya dalam akar kepelbagaian ganjil - ia boleh diletakkan di hadapan akar dan, jika perlu, dikurangkan (contohnya, jika terdapat dua tolak ini).
- Lakukan pendaraban mengikut peraturan yang dibincangkan di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indeks akar adalah sama, cukup darabkan ungkapan akar. Dan jika mereka berbeza, kami menggunakan formula jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Kami menikmati keputusan dan gred yang baik. :)
Nah? Adakah kita akan berlatih?
Contoh 1. Permudahkan ungkapan:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
Ini adalah pilihan paling mudah: penunjuk akar adalah sama dan ganjil, masalahnya hanya dalam tolak pengganda kedua. Kami menanggung minus nafig ini, selepas itu semuanya mudah dipertimbangkan.
Contoh 2. Permudahkan ungkapan:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\kiri(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\kiri(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( selaraskan)\]
Di sini, ramai yang akan keliru dengan fakta bahawa output ternyata menjadi nombor tidak rasional. Ya, ia berlaku: kami tidak dapat menyingkirkan akar sepenuhnya, tetapi sekurang-kurangnya kami memudahkan ungkapan itu dengan ketara.
Contoh 3. Permudahkan ungkapan:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Inilah yang saya ingin menarik perhatian anda. Terdapat dua perkara di sini:
- Di bawah akar bukan nombor atau darjah tertentu, tetapi pembolehubah $a$. Pada pandangan pertama, ini agak luar biasa, tetapi pada hakikatnya, apabila menyelesaikan masalah matematik, anda paling kerap perlu berurusan dengan pembolehubah.
- Pada akhirnya, kami berjaya "mengurangkan" eksponen akar dan darjah dalam ungkapan radikal. Ini berlaku agak kerap. Dan ini bermakna bahawa adalah mungkin untuk memudahkan pengiraan dengan ketara jika anda tidak menggunakan formula utama.
Sebagai contoh, anda boleh melakukan ini:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]
Malah, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika anda tidak melukis secara terperinci semua langkah perantaraan, maka pada akhirnya jumlah pengiraan akan berkurangan dengan ketara.
Sebenarnya, kami telah pun menghadapi tugas yang sama di atas apabila menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Kini ia boleh ditulis dengan lebih mudah:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\kiri(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\kiri(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]
Nah, kami telah mengetahui pendaraban akar. Sekarang pertimbangkan operasi songsang: apa yang perlu dilakukan apabila terdapat kerja di bawah akar?
akarndarjah ke-1 dan sifat-sifat utamanya
Ijazah nombor sebenar a dengan penunjuk semula jadi P ada kerja P faktor, setiap satunya adalah sama dengan a:
a1 = a; a2 = a a; a n =
Sebagai contoh,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
Lima kali
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 kali
Nombor sebenar a dipanggil asas ijazah dan nombor asli n - penunjuk darjah.
Sifat utama darjah dengan eksponen semula jadi mengikut terus daripada takrifan: darjah nombor positif dengan sebarang P e N positif; darjah nombor negatif dengan eksponen genap adalah positif, dengan nombor ganjil ia negatif.
Sebagai contoh,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Tindakan dengan darjah dilakukan mengikut perkara berikut peraturan.
1. Untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, cukup untuk menambah eksponen, dan meninggalkan asas yang sama, iaitu
Contohnya, p5∙p3 = p5+3 =p8
2. Untuk membahagikan darjah dengan asas yang sama, cukup untuk menolak penunjuk pembahagi daripada penunjuk dividen, dan biarkan asasnya sama, iaitu
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Untuk meningkatkan kuasa kepada kuasa, sudah cukup untuk mendarabkan eksponen, meninggalkan asas yang sama, iaitu
(atas)m = di p. Contohnya, (23)2 = 26.
4. Untuk meningkatkan produk kepada kuasa, sudah cukup untuk meningkatkan setiap faktor kepada kuasa ini dan melipatgandakan hasilnya, iaitu
(a b)P= sebuah ∙bP.
Sebagai contoh, (2y3)2= 4y6.
5. Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, sudah cukup untuk menaikkan pengangka dan penyebut secara berasingan kepada kuasa ini dan membahagikan hasil pertama dengan yang kedua, iaitu
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Ambil perhatian bahawa formula ini kadangkala berguna untuk dibaca dari kanan ke kiri. Dalam kes ini, mereka menjadi peraturan. Sebagai contoh, dalam kes 4, apvp= (av)hlm kita mendapat peraturan berikut: kepada untuk mendarab kuasa dengan eksponen yang sama, sudah cukup untuk mendarabkan asas, meninggalkan eksponen yang sama.
Menggunakan peraturan ini berkesan, sebagai contoh, apabila mengira produk berikut
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Kami kini memberikan definisi akar.
Punca ke-n bagi nombor nyata a dipanggil nombor nyata X, yang kuasa ke-n adalah a.
Jelas sekali, selaras dengan sifat asas darjah dengan eksponen semula jadi, daripada sebarang nombor positif terdapat dua nilai bertentangan bagi punca darjah genap, contohnya, nombor 4 dan -4 ialah punca kuasa dua 16 , sejak (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, dan nombor 3 dan -3 ialah punca keempat bagi 81, kerana (-3)4 = 34 = 81.
Juga, tiada punca genap bagi nombor negatif, kerana kuasa genap mana-mana nombor nyata adalah bukan negatif. Bagi punca darjah ganjil, maka bagi sebarang nombor nyata hanya terdapat satu punca darjah ganjil daripada nombor ini. Sebagai contoh, 3 ialah punca ketiga bagi 27 kerana Z3 = 27, dan -2 ialah punca kelima bagi -32 kerana (-2)5 = 32.
Sehubungan dengan kewujudan dua punca darjah genap daripada nombor positif, kami memperkenalkan konsep punca aritmetik untuk menghapuskan kekaburan punca ini.
Nilai bukan negatif punca ke-n bagi nombor bukan negatif dipanggil punca aritmetik.
Contohnya, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Perlu diingat bahawa apabila menyelesaikan persamaan tidak rasional, puncanya sentiasa dianggap sebagai aritmetik.
Kami perhatikan sifat utama akar darjah ke-n.
Nilai punca tidak akan berubah jika penunjuk punca dan darjah ungkapan akar didarab atau dibahagikan dengan nombor asli yang sama, iaitu
Contoh 7. Kurangkan kepada penyebut biasa dan