วิธีการนำรากมาสู่ระดับเดียวกัน รากที่สอง. ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง สกัดรากจำนวนมาก

ฉันมองไปที่จานอีกครั้ง ... และไปกันเถอะ!

มาเริ่มกันง่ายๆ ก่อน:

รอสักครู่. นี่ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

เข้าใจแล้ว? นี่คือสิ่งต่อไปสำหรับคุณ:

รากของตัวเลขผลลัพธ์ไม่ได้ถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน? ไม่ต้องกังวล นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

แต่ถ้าไม่มีตัวคูณสองตัว แต่มีมากกว่านั้นล่ะ เหมือนกัน! สูตรการคูณรูทใช้ได้กับหลายปัจจัย:

ตอนนี้เป็นอิสระอย่างสมบูรณ์:

คำตอบ:ทำได้ดี! เห็นด้วย ทุกอย่างง่ายมาก สิ่งสำคัญคือต้องรู้ตารางสูตรคูณ!

การแบ่งราก

เราหาการคูณของรากได้แล้ว ทีนี้มาดูคุณสมบัติของการหารกัน

ผมขอเตือนคุณว่าสูตรโดยทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

และนั่นก็หมายความว่า รากของผลหารเท่ากับผลหารของราก

มาดูตัวอย่างกัน:

นั่นคือวิทยาศาสตร์ทั้งหมด และนี่คือตัวอย่าง:

ทุกอย่างไม่ราบรื่นเหมือนในตัวอย่างแรก แต่อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน

เกิดอะไรขึ้นถ้านิพจน์มีลักษณะดังนี้:

คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตรในทางกลับกัน:

และนี่คือตัวอย่าง:

คุณยังสามารถดูนิพจน์นี้:

ทุกอย่างเหมือนเดิม เฉพาะที่นี่คุณต้องจำวิธีการแปลเศษส่วน (หากคุณจำไม่ได้ ให้ดูที่หัวข้อแล้วกลับมา!) จำได้ไหม ตอนนี้เราตัดสินใจแล้ว!

ฉันแน่ใจว่าคุณรับมือกับทุกสิ่ง ทุกอย่าง ตอนนี้มาพยายามสร้างรากฐานในระดับหนึ่ง

การยกกำลัง

เกิดอะไรขึ้นถ้าสแควร์รูทเป็นกำลังสอง? ง่ายมาก จำความหมายของสแควร์รูทของตัวเลข - นี่คือตัวเลขที่สแควร์รูทเท่ากับ

แล้วถ้าเรายกกำลังสองจำนวนที่มีรากที่สองเท่ากับ แล้วเราจะได้อะไร?

แน่นอน !

ลองดูตัวอย่าง:

ทุกอย่างเรียบง่ายใช่มั้ย และถ้ารูทอยู่ในองศาที่ต่างออกไป? ไม่เป็นไร!

ใช้ตรรกะเดียวกันและจดจำคุณสมบัติและการดำเนินการที่เป็นไปได้ด้วยองศา

อ่านทฤษฎีในหัวข้อ "" แล้วทุกอย่างจะชัดเจนสำหรับคุณ

ตัวอย่างเช่น นี่คือนิพจน์:

ในตัวอย่างนี้ ดีกรีเป็นคู่ แต่ถ้าเป็นคี่ล่ะ อีกครั้ง ใช้คุณสมบัติกำลังและปัจจัยทุกอย่าง:

ด้วยสิ่งนี้ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่จะแยกรูทออกจากตัวเลขในระดับหนึ่งได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น นี่คือ:

ค่อนข้างง่ายใช่มั้ย? เกิดอะไรขึ้นถ้าปริญญามากกว่าสอง? เราทำตามตรรกะเดียวกันโดยใช้คุณสมบัติขององศา:

ทุกอย่างชัดเจนหรือไม่? จากนั้นแก้ตัวอย่างของคุณเอง:

และนี่คือคำตอบ:

บทนำภายใต้สัญลักษณ์ของรูต

สิ่งที่เรายังไม่ได้เรียนรู้ที่จะทำกับราก! ยังคงเป็นเพียงการฝึกฝนการป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายรูท!

มันค่อนข้างง่าย!

สมมุติว่าเรามีตัวเลข

เราจะทำอะไรกับมันได้บ้าง? แน่นอน ซ่อนทริปเปิ้ลไว้ใต้รูท ในขณะที่จำไว้ว่าทริปเปิ้ลนั้นคือสแควร์รูทของ!

ทำไมเราถึงต้องการมัน? ใช่ เพียงเพื่อขยายความสามารถของเราเมื่อแก้ตัวอย่าง:

คุณชอบคุณสมบัติของรากนี้อย่างไร? ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก? สำหรับฉัน ถูกต้อง! เท่านั้น เราต้องจำไว้ว่าเราสามารถป้อนตัวเลขบวกภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เท่านั้น

ลองตัวอย่างนี้ด้วยตัวคุณเอง:
คุณจัดการ? มาดูกันว่าคุณควรได้รับอะไรบ้าง:

ทำได้ดี! คุณสามารถป้อนตัวเลขภายใต้เครื่องหมายรูทได้! มาดูสิ่งที่สำคัญเท่าเทียมกัน - พิจารณาวิธีเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สอง!

การเปรียบเทียบราก

เหตุใดเราจึงควรเรียนรู้การเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สอง

ง่ายมาก. บ่อยครั้งในสำนวนที่ยาวและใหญ่ในข้อสอบ เราได้รับคำตอบที่ไม่มีเหตุผล (คุณจำได้ไหมว่ามันคืออะไร เราได้พูดถึงเรื่องนี้ไปแล้วในวันนี้!)

เราจำเป็นต้องวางคำตอบที่ได้รับบนเส้นพิกัด เช่น เพื่อกำหนดช่วงเวลาที่เหมาะสมในการแก้สมการ และนี่คืออุปสรรค์ที่เกิดขึ้น: ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบ และถ้าไม่มี คุณจะจินตนาการได้อย่างไรว่าจำนวนใดที่มากกว่าและน้อยกว่า แค่นั้นแหละ!

ตัวอย่างเช่น กำหนดว่าอันไหนมากกว่า: or?

คุณจะไม่พูดทันที ลองใช้คุณสมบัติการแยกวิเคราะห์ของการเพิ่มตัวเลขภายใต้เครื่องหมายรูทกัน?

จากนั้นไปข้างหน้า:

เห็นได้ชัดว่ายิ่งจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของรูทมากเท่าไหร่ รูตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น!

เหล่านั้น. ถ้าหมายถึง.

จากนี้เราสรุปได้อย่างแน่วแน่ว่า และจะไม่มีใครโน้มน้าวใจเราเป็นอย่างอื่น!

สกัดรากจำนวนมาก

ก่อนหน้านั้นเราได้แนะนำปัจจัยภายใต้สัญลักษณ์ของรูท แต่จะกำจัดมันอย่างไร? คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบและแยกสิ่งที่สกัดออกมา!

เป็นไปได้ที่จะไปทางอื่นและแยกออกเป็นปัจจัยอื่น ๆ :

ไม่เลวใช่มั้ย วิธีการเหล่านี้ถูกต้อง ตัดสินใจว่าคุณรู้สึกสบายใจอย่างไร

การแยกตัวประกอบมีประโยชน์มากเมื่อแก้ไขงานที่ไม่ได้มาตรฐานเช่นนี้:

เราไม่กลัว เราลงมือทำ! เราแยกแต่ละปัจจัยภายใต้รากเป็นปัจจัยแยกกัน:

และตอนนี้ลองด้วยตัวเอง (ไม่มีเครื่องคิดเลข! จะไม่อยู่ในการสอบ):

นี่คือจุดสิ้นสุด? เราไม่หยุดครึ่งทาง!

แค่นั้น มันไม่ได้น่ากลัวขนาดนั้นหรอกเหรอ?

เกิดขึ้น? ทำได้ดีมาก คุณพูดถูก!

ลองใช้ตัวอย่างนี้:

และตัวอย่างคือน็อตที่ยากต่อการแตกหัก คุณจึงไม่สามารถหาวิธีรับมือได้ในทันที แต่แน่นอนว่าเราอยู่ในฟัน

เรามาเริ่มแฟคตอริ่งกันไหม เราทราบทันทีว่าคุณสามารถหารตัวเลขด้วย (จำเครื่องหมายของการหารได้):

และตอนนี้ ลองทำด้วยตัวเอง (อีกครั้งโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข!):

มันได้ผลเหรอ? ทำได้ดีมาก คุณพูดถูก!

สรุป

รากที่สอง (รากที่สองของเลขคณิต) ของจำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากัน
.
ถ้าเราหาสแควร์รูทของบางอย่าง, เราจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบเสมอ
คุณสมบัติของรากเลขคณิต:
เมื่อเปรียบเทียบรากที่สอง ต้องจำไว้ว่ายิ่งจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายของรูทมากเท่าใด รูตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

คุณชอบสแควร์รูทอย่างไร? ชัดเจนทั้งหมด?

เราพยายามอธิบายให้คุณฟังโดยไม่ต้องให้น้ำทุกอย่างที่คุณจำเป็นต้องรู้ในข้อสอบเกี่ยวกับสแควร์รูท

ตาเธอแล้ว. เขียนถึงเราว่าหัวข้อนี้ยากสำหรับคุณหรือไม่

คุณได้เรียนรู้สิ่งใหม่หรือทุกอย่างชัดเจนแล้ว

เขียนความคิดเห็นและขอให้โชคดีในการสอบ!

เนื้อหาของบทความนี้ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นส่วนหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงหัวข้อของการแสดงออกที่ไม่ลงตัว ในที่นี้โดยใช้ตัวอย่าง เราจะวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อยและความแตกต่างทั้งหมด (ซึ่งมีอยู่มากมาย) ที่เกิดขึ้นเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงตามคุณสมบัติของราก

การนำทางหน้า

เรียกคืนคุณสมบัติของราก

เนื่องจากเราจะจัดการกับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของราก จึงไม่เจ็บที่จะจำหลัก หรือเขียนมันลงบนกระดาษแล้ววางไว้ตรงหน้าคุณ

ขั้นแรก ให้ศึกษารากที่สองและคุณสมบัติต่อไปนี้ (a, b, a 1, a 2, ..., a k เป็นจำนวนจริง):

และต่อมาแนวคิดของรูตถูกขยายออกไป คำจำกัดความของรูทของระดับที่ n ถูกนำมาใช้และพิจารณาคุณสมบัติดังกล่าว (a, b, a 1, a 2, ..., a k เป็นจำนวนจริง m, n, n 1, n 2, ... , nk - ตัวเลขธรรมชาติ):

การแปลงนิพจน์ด้วยตัวเลขภายใต้เครื่องหมายรูต

ตามปกติแล้ว พวกเขาเรียนรู้ที่จะทำงานกับนิพจน์ตัวเลขก่อน จากนั้นจึงย้ายไปยังนิพจน์ที่มีตัวแปร เราจะทำเช่นเดียวกัน และก่อนอื่น เราจะจัดการกับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่ไม่ลงตัวที่มีเฉพาะนิพจน์ที่เป็นตัวเลขภายใต้สัญลักษณ์ของรูต และต่อไปในย่อหน้าถัดไป เราจะแนะนำตัวแปรภายใต้สัญลักษณ์ของรูต

จะนำไปใช้ในการแปลงนิพจน์ได้อย่างไร ง่ายมาก: ตัวอย่างเช่น เราสามารถแทนที่นิพจน์ที่ไม่ลงตัวด้วยนิพจน์ หรือในทางกลับกัน กล่าวคือ หากนิพจน์ที่แปลงแล้วมีนิพจน์ที่ตรงกับนิพจน์จากส่วนซ้าย (ขวา) ของคุณสมบัติใดๆ ที่อยู่ในรายการของรูท นิพจน์นั้นจะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เกี่ยวข้องจากส่วนขวา (ซ้าย) นี่คือการแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของราก

ลองมาอีกสองสามตัวอย่าง

มาลดความซับซ้อนของนิพจน์กันเถอะ . ตัวเลข 3 , 5 และ 7 เป็นค่าบวก ดังนั้นเราจึงสามารถใช้คุณสมบัติของรากได้อย่างปลอดภัย ที่นี่คุณสามารถทำอย่างอื่นได้ ตัวอย่างเช่น รูทตามคุณสมบัติสามารถแสดงเป็น และรูทตามคุณสมบัติด้วย k=3 เป็น ด้วยวิธีนี้ โซลูชันจะมีลักษณะดังนี้:

เป็นไปได้ที่จะทำอย่างอื่นโดยแทนที่ด้วย , แล้วด้วย , ในกรณีนี้การแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

วิธีแก้ปัญหาอื่นๆ ทำได้ เช่น

ลองมาดูตัวอย่างอื่นกัน มาแปลงนิพจน์กันเถอะ ดูที่รายการคุณสมบัติของราก เราเลือกจากคุณสมบัติที่เราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่าง เป็นที่ชัดเจนว่าคุณสมบัติสองคุณสมบัติที่นี่ ซึ่งใช้ได้สำหรับ a ใดๆ เรามี:

อีกทางหนึ่ง ขั้นแรกอาจแปลงนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทโดยใช้

แล้วนำคุณสมบัติของรากมาประยุกต์ใช้

ถึงจุดนี้ เราได้แปลงนิพจน์ที่มีเฉพาะรากที่สองเท่านั้น ได้เวลาทำงานกับรากที่มีตัวบ่งชี้อื่นแล้ว

ตัวอย่าง.

เปลี่ยนการแสดงออกที่ไม่ลงตัว .

วิธีการแก้.

ตามทรัพย์สิน ปัจจัยแรกของผลิตภัณฑ์ที่กำหนดสามารถแทนที่ด้วยตัวเลข −2:

ก้าวไปข้างหน้า. โดยอาศัยอำนาจตามคุณสมบัติ ปัจจัยที่สองสามารถแสดงเป็น และไม่เจ็บที่จะแทนที่ 81 ด้วยกำลังสี่เท่าของสาม เนื่องจากหมายเลข 3 ปรากฏในปัจจัยที่เหลือภายใต้สัญลักษณ์ของราก:

ขอแนะนำให้แทนที่รากของเศษส่วนด้วยอัตราส่วนของรากของแบบฟอร์ม ซึ่งสามารถแปลงเพิ่มเติมได้: . เรามี

นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์หลังจากดำเนินการกับ twos จะอยู่ในรูปแบบ และมันยังคงแปลงผลคูณของรูท

ในการเปลี่ยนผลิตภัณฑ์ของราก พวกมันมักจะถูกลดเหลือตัวบ่งชี้เดียว ซึ่งแนะนำให้ใช้ตัวชี้วัดของรากทั้งหมด ในกรณีของเรา LCM(12, 6, 12)=12 และจะต้องลดเฉพาะรูทเป็นตัวบ่งชี้นี้ เนื่องจากอีกสองรูทมีตัวบ่งชี้ดังกล่าวอยู่แล้ว ในการรับมือกับงานนี้ทำให้เกิดความเท่าเทียมกันซึ่งใช้จากขวาไปซ้าย ดังนั้น . เมื่อพิจารณาจากผลลัพธ์นี้แล้ว เราก็มี

ตอนนี้ผลิตภัณฑ์ของรากสามารถถูกแทนที่ด้วยรากของผลิตภัณฑ์และส่วนที่เหลือซึ่งเห็นได้ชัดอยู่แล้วสามารถดำเนินการแปลงได้:

มาสร้างวิธีแก้ปัญหาแบบย่อกัน:

ตอบ:

แยกจากกัน เราเน้นว่าในการใช้คุณสมบัติของราก จำเป็นต้องคำนึงถึงข้อ จำกัด ที่กำหนดไว้สำหรับตัวเลขภายใต้สัญลักษณ์ของราก (a≥0, เป็นต้น) การเพิกเฉยอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่าพร็อพเพอร์ตี้มีไว้สำหรับ a ที่ไม่เป็นลบ เราสามารถไปได้อย่างปลอดภัย ตัวอย่างเช่น จาก ถึง เนื่องจาก 8 เป็นจำนวนบวก แต่ถ้าเราหารากที่มีความหมายของจำนวนลบ เช่น และแทนที่ด้วยคุณสมบัติข้างต้น เราจะแทนที่ −2 ด้วย 2 จริง ๆ อันที่จริง ก. นั่นคือสำหรับค่าลบ a ความเท่าเทียมกันอาจเป็นเท็จ เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นของรากอาจเป็นเท็จโดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขที่ระบุไว้

แต่สิ่งที่กล่าวในย่อหน้าก่อนหน้านี้ไม่ได้หมายความว่านิพจน์ที่มีตัวเลขติดลบภายใต้เครื่องหมายรูตนั้นไม่สามารถแปลงได้โดยใช้คุณสมบัติของราก พวกเขาเพียงแค่ต้อง "เตรียมพร้อม" ล่วงหน้าโดยใช้กฎการดำเนินการกับตัวเลขหรือใช้คำจำกัดความของรากดีกรีคี่จากจำนวนลบซึ่งสอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน โดยที่ −a เป็นจำนวนลบ (ในขณะที่ a เป็นบวก) . ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถแทนที่ด้วย ทันที เนื่องจาก −2 และ −3 เป็นตัวเลขติดลบ แต่มันทำให้เราย้ายจากรูทไปที่ จากนั้นจึงใช้คุณสมบัติของรูทจากผลิตภัณฑ์: . และในหนึ่งในตัวอย่างก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องย้ายจากรากถึงรากของดีกรีที่สิบแปดไม่ใช่แบบนี้ แต่แบบนี้ .

ดังนั้น ในการแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของรูท คุณต้อง

เลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมจากรายการ
ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเลขภายใต้รูทเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับคุณสมบัติที่เลือก (มิฉะนั้น คุณต้องทำการแปลงเบื้องต้น)
และดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่ตั้งใจไว้

การแปลงนิพจน์ด้วยตัวแปรภายใต้เครื่องหมายรูท

ในการแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัวที่ประกอบด้วยตัวเลขไม่เพียงเท่านั้นแต่ยังมีตัวแปรภายใต้เครื่องหมายรูทด้วย คุณสมบัติของรากที่แสดงในย่อหน้าแรกของบทความนี้จะต้องถูกนำมาใช้อย่างระมัดระวัง สาเหตุส่วนใหญ่มาจากเงื่อนไขที่ต้องเป็นไปตามตัวเลขที่เกี่ยวข้องในสูตร ตัวอย่างเช่น ตามสูตร นิพจน์สามารถแทนที่ด้วยนิพจน์เฉพาะสำหรับค่า x ที่ตรงตามเงื่อนไข x≥0 และ x+1≥0 เนื่องจากสูตรที่ระบุถูกตั้งค่าสำหรับ a≥0 และ b≥ 0 .

อันตรายของการเพิกเฉยเงื่อนไขเหล่านี้คืออะไร? คำตอบสำหรับคำถามนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติว่าเราต้องคำนวณค่าของนิพจน์เมื่อ x=−2 . ถ้าเราแทนค่า −2 แทนตัวแปร x ทันที เราก็จะได้ค่าที่เราต้องการ . และตอนนี้ ลองจินตนาการว่า จากการพิจารณาบางอย่าง เราได้แปลงนิพจน์ที่กำหนดเป็นรูปแบบ และหลังจากนั้นเราตัดสินใจคำนวณค่า เราแทนที่ตัวเลข −2 แทน x และมาถึงนิพจน์ ซึ่งไม่สมเหตุสมผล

มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นกับช่วงของค่าที่ถูกต้อง (ODV) ของตัวแปร x เมื่อเราย้ายจากนิพจน์หนึ่งไปอีกนิพจน์ เราไม่ได้พูดถึง ODZ โดยบังเอิญ เนื่องจากเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับควบคุมการยอมรับการเปลี่ยนแปลงที่ทำ และการเปลี่ยน ODZ หลังจากการแปลงนิพจน์อย่างน้อยควรแจ้งเตือน การหา ODZ สำหรับนิพจน์เหล่านี้ไม่ใช่เรื่องยาก สำหรับนิพจน์ ODZ ถูกกำหนดจากอสมการ x (x+1)≥0 คำตอบจะให้ชุดตัวเลข (−∞, −1]∪∪∪

ไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมสำหรับตัวเลขทางขวาหรือซ้าย: หากรูทตัวคูณมีอยู่ ผลิตภัณฑ์ก็จะมีอยู่เช่นกัน

ตัวอย่าง. พิจารณาสี่ตัวอย่างพร้อมตัวเลขพร้อมกัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็น ความหมายหลักของกฎนี้คือการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว และถ้าในตัวอย่างแรก เราจะแยกรากจาก 25 และ 4 โดยไม่มีกฎใหม่ ดีบุกก็เริ่มต้น: $\sqrt(32)$ และ $\sqrt(2)$ ไม่นับด้วยตัวเอง แต่ ผลคูณของมันกลายเป็นกำลังสองที่แน่นอน ดังนั้นรากของมันจึงเท่ากับจำนวนตรรกยะ.

แยกกันฉันต้องการทราบบรรทัดสุดท้าย ในที่นี้ นิพจน์รากศัพท์ทั้งสองเป็นเศษส่วน ต้องขอบคุณผลิตภัณฑ์ มีหลายปัจจัยที่ยกเลิกไป และนิพจน์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนที่เพียงพอ

แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกสิ่งจะสวยงามเสมอไป บางครั้งจะมีอึที่สมบูรณ์อยู่ใต้ราก - ไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมันและจะแปลงอย่างไรหลังจากการคูณ ในเวลาต่อมา เมื่อคุณเริ่มศึกษาสมการอตรรกยะและอสมการ ก็จะพบตัวแปรและฟังก์ชันทั่วไปทุกประเภท และบ่อยครั้งที่คอมไพเลอร์ของปัญหากำลังนับความจริงที่ว่าคุณจะพบเงื่อนไขหรือปัจจัยที่ทำสัญญาหลังจากนั้นงานจะง่ายขึ้นอย่างมาก

นอกจากนี้ ไม่จำเป็นต้องคูณสองรากเท่านั้น คุณสามารถคูณสามพร้อมกัน สี่ - ใช่ แม้แต่สิบ! สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนกฎ ลองดูสิ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

และข้อสังเกตเล็ก ๆ อีกครั้งในตัวอย่างที่สอง อย่างที่คุณเห็นในตัวคูณที่สามมีเศษส่วนทศนิยมอยู่ใต้รูท - ในกระบวนการคำนวณ เราแทนที่ด้วยเศษปกติหลังจากนั้นทุกอย่างจะลดลงอย่างง่ายดาย ดังนั้น: ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้กำจัดเศษส่วนทศนิยมในนิพจน์ที่ไม่ลงตัวใดๆ (นั่นคือ มีไอคอนกรณฑ์อย่างน้อยหนึ่งไอคอน) วิธีนี้จะช่วยประหยัดเวลาและความกังวลของคุณได้มากในอนาคต

แต่มันเป็นการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ตอนนี้ มาพิจารณากรณีทั่วไปมากขึ้น - เมื่อเลขชี้กำลังรากมีตัวเลข $n$ โดยพลการ และไม่ใช่แค่สอง "คลาสสิก"

กรณีของตัวบ่งชี้ตามอำเภอใจ

เราก็หารากที่สองได้แล้ว และจะทำอย่างไรกับลูกบาศก์? หรือโดยทั่วไปมีรากของระดับ $n$ โดยพลการ? ใช่ทุกอย่างเหมือนกัน กฎยังคงเหมือนเดิม:

ในการคูณสองรากของดีกรี $n$ ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณนิพจน์รากของพวกมัน หลังจากนั้นผลลัพธ์จะถูกเขียนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ตัวเดียว

โดยทั่วไปไม่มีอะไรซับซ้อน เว้นเสียแต่ว่าปริมาณการคำนวณสามารถมากขึ้นได้ ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

ตัวอย่าง. คำนวณสินค้า:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

และให้ความสนใจกับนิพจน์ที่สองอีกครั้ง เราคูณรากที่สาม กำจัดเศษส่วนทศนิยม และผลที่ได้ เราจะได้ผลคูณของตัวเลข 625 และ 25 ในตัวส่วน นี่เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมาก - โดยส่วนตัวแล้ว ฉันจะไม่คำนวณทันทีว่ามันเท่ากับเท่าใด ถึง.

ดังนั้นเราจึงเลือกคิวบ์ที่แน่นอนในตัวเศษและส่วน จากนั้นใช้หนึ่งในคุณสมบัติหลัก (หรือถ้าคุณต้องการ คำจำกัดความ) ของรูทของระดับ $n$th:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

"กลโกง" ดังกล่าวสามารถช่วยคุณประหยัดเวลาในการสอบหรือการทดสอบได้มาก ดังนั้นจำไว้ว่า:

อย่าเร่งที่จะคูณตัวเลขในนิพจน์ราก ขั้นแรก ให้ตรวจสอบ: จะเกิดอะไรขึ้นหากระดับของนิพจน์ใด ๆ ถูก "เข้ารหัส" ที่นั่น

ด้วยความชัดเจนของคำพูดนี้ ฉันต้องยอมรับว่านักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวส่วนใหญ่ชี้ว่างไม่เห็นองศาที่แน่นอน แต่พวกเขาคูณทุกอย่างข้างหน้าแล้วสงสัยว่า: ทำไมพวกเขาถึงได้ตัวเลขที่โหดร้ายเช่นนี้ :)

อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้เป็นการเล่นของเด็ก เมื่อเทียบกับสิ่งที่เราจะเรียนในตอนนี้

การคูณรากด้วยเลขชี้กำลังต่างกัน

ทีนี้ เราสามารถคูณรากด้วยเลขชี้กำลังเดียวกันได้ แล้วถ้าคะแนนต่างกันล่ะ? สมมติว่าคุณคูณ $\sqrt(2)$ ธรรมดาด้วยอึเช่น $\sqrt(23)$ ได้อย่างไร เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้?

ใช่ แน่นอน คุณทำได้ ทุกอย่างทำตามสูตรนี้:

กฎการคูณรูต ในการคูณ $\sqrt[n](a)$ ด้วย $\sqrt[p](b)$ เพียงทำการแปลงต่อไปนี้:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ นิพจน์รุนแรงไม่เป็นลบ. นี่เป็นข้อสังเกตที่สำคัญมาก ซึ่งเราจะกลับมาในภายหลัง

ในตอนนี้ มาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน ตอนนี้ มาดูกันว่าข้อกำหนดที่ไม่เป็นลบมาจากไหน และจะเกิดอะไรขึ้นหากเราละเมิดข้อกำหนดนั้น :)

มันง่ายที่จะคูณราก

เหตุใดนิพจน์รากต้องไม่เป็นค่าลบ

แน่นอน คุณสามารถเป็นเหมือนครูในโรงเรียนและอ้างอิงหนังสือเรียนด้วยรูปลักษณ์อันชาญฉลาดได้:

ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธมีความเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความที่แตกต่างกันของรากของดีกรีคู่และคี่ (ตามลำดับ ขอบเขตของคำจำกัดความก็ต่างกันด้วย)

มันชัดเจนขึ้น? โดยส่วนตัวแล้ว เมื่อฉันอ่านเรื่องไร้สาระนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ฉันเข้าใจตัวเองดังนี้: “ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธมีความเกี่ยวข้องกับ *#&^@(*#@^#)~%” - ในระยะสั้นฉัน ตอนนั้นไม่เข้าใจเรื่องเหี้ยๆ :)

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างด้วยวิธีปกติ

ก่อนอื่น มาดูกันว่าสูตรคูณข้างต้นมาจากไหน ในการทำเช่นนี้ ผมขอเตือนคุณถึงคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของรูท:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถยกนิพจน์รากเป็นกำลังธรรมชาติใดๆ $k$ ได้อย่างปลอดภัย - ในกรณีนี้ ดัชนีรูทจะต้องคูณด้วยกำลังเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถลดรากใด ๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปได้อย่างง่ายดายหลังจากนั้นเราคูณ นี่คือที่มาของสูตรคูณ:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

แต่มีปัญหาอย่างหนึ่งที่จำกัดการใช้สูตรเหล่านี้ทั้งหมดอย่างรุนแรง พิจารณาตัวเลขนี้:

ตามสูตรที่ให้มา เราสามารถบวกองศาใดก็ได้ ลองเพิ่ม $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

เราลบลบออกอย่างแม่นยำเพราะสี่เหลี่ยมนั้นเผาลบ (เช่นเดียวกับดีกรีคู่อื่นๆ) และตอนนี้ เรามาทำการแปลงแบบย้อนกลับกัน: "ลด" สองตัวในเลขชี้กำลังและดีกรี ท้ายที่สุด ความเท่าเทียมกันใดๆ สามารถอ่านได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ก); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่แล้วสิ่งประหลาดก็เกิดขึ้น:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

เป็นไปไม่ได้เพราะ $\sqrt(-5) \lt 0$ และ $\sqrt(5) \gt 0$ ซึ่งหมายความว่าสำหรับเลขยกกำลังและจำนวนลบ สูตรของเราใช้ไม่ได้อีกต่อไป หลังจากนั้นเรามีสองทางเลือก:

เพื่อต่อสู้กับกำแพงเพื่อระบุว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่โง่เขลาซึ่ง "มีกฎบางอย่าง แต่ไม่ถูกต้อง";
แนะนำข้อจำกัดเพิ่มเติมซึ่งสูตรจะทำงานได้ 100%

ในตัวเลือกแรก เราจะต้องจับกรณีที่ "ไม่ทำงาน" อย่างต่อเนื่อง ซึ่งเป็นเรื่องยาก ยาว และโดยทั่วไปแล้วจะฟู ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงชอบตัวเลือกที่สอง :)

แต่ไม่ต้องกังวล! ในทางปฏิบัติ ข้อ จำกัด นี้ไม่ส่งผลต่อการคำนวณ แต่อย่างใด เนื่องจากปัญหาที่อธิบายไว้ทั้งหมดเกี่ยวข้องกับรากของระดับคี่เท่านั้นและสามารถนำ minuses ออกมาได้

ดังนั้นเราจึงกำหนดกฎอื่นที่ใช้โดยทั่วไปกับการกระทำทั้งหมดที่มีราก:

ก่อนคูณราก ตรวจสอบให้แน่ใจว่านิพจน์รากไม่มีค่าลบ

ตัวอย่าง. ในจำนวน $\sqrt(-5)$ คุณสามารถลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท - จากนั้นทุกอย่างจะเรียบร้อย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

รู้สึกถึงความแตกต่าง? หากคุณปล่อยเครื่องหมายลบไว้ใต้รูท เมื่อนิพจน์รากที่สองถูกยกกำลังสอง นิพจน์ดังกล่าวจะหายไป และอึจะเริ่มขึ้น และถ้าคุณลบเครื่องหมายลบออกก่อน คุณสามารถเพิ่มหรือลบสี่เหลี่ยมจตุรัสได้จนกว่าคุณจะเป็นสีน้ำเงินในหน้า - ตัวเลขจะเป็นลบ :)

ดังนั้น วิธีที่ถูกต้องและน่าเชื่อถือที่สุดในการคูณรากมีดังนี้:

ลบ minuses ทั้งหมดออกจากใต้อนุมูล minuses อยู่ในรากของ multiplicity แบบคี่เท่านั้น - สามารถวางไว้ที่ด้านหน้าของ root และลดลงหากจำเป็น (เช่นถ้ามี minuses สองอัน)
ทำการคูณตามกฎที่กล่าวข้างต้นในบทเรียนวันนี้ หากดัชนีของรากเหมือนกัน ให้คูณนิพจน์ราก และถ้าต่างกัน เราก็ใช้สูตรชั่วร้าย \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) )))\].
3. เราสนุกกับผลลัพธ์และคะแนนที่ดี :)

ดี? เรามาฝึกกันไหม?

ตัวอย่างที่ 1 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(จัดตำแหน่ง)\]

นี่เป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด: ตัวบ่งชี้ของรากเหมือนกันและคี่ ปัญหาอยู่ในลบของตัวคูณที่สองเท่านั้น เราทนต่อการลบ nafig หลังจากนั้นทุกอย่างก็พิจารณาได้ง่าย

ตัวอย่างที่ 2 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5))) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( จัดตำแหน่ง)\]

ในที่นี้ หลายคนอาจสับสนกับข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์กลายเป็นจำนวนอตรรกยะ ใช่ มันเกิดขึ้น: เราไม่สามารถกำจัดรากได้อย่างสมบูรณ์ แต่อย่างน้อยเราก็ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัวอย่างที่ 3 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( ก)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการดึงดูดความสนใจของคุณ มีสองจุดที่นี่:

ภายใต้รูทนั้นไม่ใช่ตัวเลขหรือระดับเฉพาะ แต่เป็นตัวแปร $a$ เมื่อมองแวบแรก นี่อาจดูผิดปกติเล็กน้อย แต่ในความเป็นจริง เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ คุณมักจะต้องจัดการกับตัวแปร
ในที่สุด เราก็สามารถ "ลด" เลขชี้กำลังรากและดีกรีในการแสดงออกที่รุนแรงได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย และนี่หมายความว่าสามารถลดความซับซ้อนของการคำนวณได้อย่างมากหากคุณไม่ได้ใช้สูตรหลัก

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำสิ่งนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \สิ้นสุด(จัดตำแหน่ง)\]

อันที่จริง การแปลงทั้งหมดดำเนินการกับรากที่สองเท่านั้น และถ้าคุณไม่ลงรายละเอียดในขั้นตอนกลางทั้งหมด ในที่สุดปริมาณของการคำนวณจะลดลงอย่างมาก

อันที่จริง เราได้พบงานที่คล้ายกันข้างต้นแล้วเมื่อแก้ไขตัวอย่าง $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ตอนนี้สามารถเขียนได้ง่ายขึ้นมาก:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75) \end(จัดตำแหน่ง)\]

เราก็หาการคูณของรากได้แล้ว ตอนนี้ให้พิจารณาการดำเนินการผกผัน: จะทำอย่างไรเมื่อมีงานภายใต้รูท?

รากนระดับ th และคุณสมบัติหลัก

ระดับเบอร์จริง เอด้วยตัวบ่งชี้ที่เป็นธรรมชาติ พีมีงาน พีปัจจัยแต่ละอย่างมีค่าเท่ากับ ก:

a1 = ก; a2 = ก; เอ น =

ตัวอย่างเช่น,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

ห้าครั้ง

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 ครั้ง

เบอร์จริง เอเรียกว่า พื้นฐานของการศึกษาระดับปริญญาและจำนวนธรรมชาติ n - ตัวบ่งชี้องศา

คุณสมบัติหลักขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเป็นไปตามคำจำกัดความโดยตรง: ระดับของจำนวนบวกที่มีค่าใดๆ พีอี นู๋เชิงบวก; ระดับของจำนวนลบที่มีเลขชี้กำลังคู่เป็นบวก โดยที่เลขคี่จะเป็นค่าลบ

ตัวอย่างเช่น,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

การกระทำที่มีองศาจะดำเนินการตามต่อไปนี้ กฎ.

1. ในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกเลขชี้กำลังและปล่อยให้ฐานเท่าเดิม นั่นคือ

ตัวอย่างเช่น p5∙p3 = p5+3 =p8

2. ในการหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะลบตัวบ่งชี้ตัวหารออกจากตัวบ่งชี้การจ่ายเงินปันผล และปล่อยให้ฐานเท่ากันนั่นคือ

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">

2. การเพิ่มกำลังให้เป็นกำลังก็เพียงพอที่จะคูณเลขชี้กำลังโดยปล่อยให้ฐานเท่าเดิมนั่นคือ

(แอป)ม = ที่หน้าตัวอย่างเช่น (23)2 = 26

๔. การจะยกสินค้าขึ้นเป็นกำลัง ก็เพียงพอแล้วที่จะยกปัจจัยแต่ละปัจจัยให้เป็นกำลังนี้แล้วคูณผลที่ได้ กล่าวคือ

(a ข)ป= ∙ขพี.

ตัวอย่างเช่น, (2y3)2= 4y6.

5. ในการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง ก็เพียงพอแล้วที่จะยกตัวเศษและตัวส่วนแยกเป็นยกกำลังนี้แล้วหารผลลัพธ์แรกด้วยตัวที่สอง นั่นคือ

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">

โปรดทราบว่าบางครั้งสูตรเหล่านี้มีประโยชน์ในการอ่านจากขวาไปซ้าย ในกรณีนี้จะกลายเป็นกฎ ตัวอย่างเช่น กรณีที่ 4 apvp= (av)pเราได้รับกฎต่อไปนี้: ถึง ในการคูณยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณฐานโดยปล่อยให้เลขชี้กำลังเท่ากัน

การใช้กฎนี้จะมีผล เช่น เมื่อคำนวณผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1

ตอนนี้เราให้คำจำกัดความของรูท

รากที่ n ของจำนวนจริง เอเรียกเลขจริง เอ็กซ์,ที่ n อำนาจคือ ก.

เห็นได้ชัดว่าตามคุณสมบัติพื้นฐานขององศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติจากจำนวนบวกใด ๆ มีค่าตรงกันข้ามสองค่าของรากขององศาคู่เช่นตัวเลข 4 และ -4 เป็นรากที่สองของ 16 ตั้งแต่ (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16 และตัวเลข 3 และ -3 เป็นรากที่สี่ของ 81 เนื่องจาก (-3)4 = 34 = 81

นอกจากนี้ยังไม่มีรูทเลขคู่ของจำนวนลบเพราะ ยกกำลังคู่ของจำนวนจริงใดๆ ไม่เป็นลบ. สำหรับรากของดีกรีคี่ สำหรับจำนวนจริงใดๆ จะมีเพียงหนึ่งรูทของดีกรีคี่จากตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น 3 คือรากที่สามของ 27 เนื่องจาก Z3 = 27 และ -2 คือรากที่ห้าของ -32 เนื่องจาก (-2)5 = 32

ในการเชื่อมต่อกับการมีอยู่ของรากที่สองของดีกรีคู่จากจำนวนบวก เราแนะนำแนวคิดของการรูทเลขคณิตเพื่อขจัดความกำกวมของรูทนี้

ค่าที่ไม่เป็นลบของรูทที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่า รากเลขคณิต

ตัวอย่างเช่น https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0

ควรจำไว้ว่าเมื่อแก้สมการไม่ลงตัว รากของพวกมันจะถูกพิจารณาว่าเป็นเลขคณิตเสมอ

เราสังเกตคุณสมบัติหลักของรูทของดีกรีที่ n

ค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวบ่งชี้ของรูทและระดับของนิพจน์รูทถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน นั่นคือ

ตัวอย่างที่ 7 ลดให้เป็นตัวส่วนร่วมและ