Napatingin ulit ako sa karatula... And, let's go!
Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:
Saglit lang. ito, na nangangahulugang maaari naming isulat ito tulad nito:
Nakuha ko? Narito ang susunod na para sa iyo:
Ang mga ugat ba ng mga resultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Walang problema - narito ang ilang mga halimbawa:
Paano kung walang dalawa, ngunit mas maraming multiplier? Pareho! Ang formula para sa pagpaparami ng mga ugat ay gumagana sa anumang bilang ng mga kadahilanan:
Ngayon ay ganap sa iyong sarili:
Mga sagot: Magaling! Sumang-ayon, ang lahat ay napakadali, ang pangunahing bagay ay upang malaman ang talahanayan ng pagpaparami!
Dibisyon ng ugat
Inayos namin ang pagpaparami ng mga ugat, ngayon ay lumipat tayo sa pag-aari ng paghahati.
Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang pangkalahatang formula ay ganito ang hitsura:
Ibig sabihin ang ugat ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.
Well, tingnan natin ang ilang mga halimbawa:
Iyon lang ang agham. Narito ang isang halimbawa:
Ang lahat ay hindi kasing-kinis tulad ng sa unang halimbawa, ngunit, tulad ng nakikita mo, walang kumplikado.
Paano kung makita mo ang expression na ito:
Kailangan mo lamang ilapat ang formula sa kabaligtaran na direksyon:
At narito ang isang halimbawa:
Maaari mo ring makita ang expression na ito:
Ang lahat ay pareho, dito lamang kailangan mong matandaan kung paano isalin ang mga fraction (kung hindi mo naaalala, tingnan ang paksa at bumalik!). naaalala mo ba Ngayon magdesisyon tayo!
Sigurado ako na nakaya mo ang lahat, ngayon subukan nating itaas ang mga ugat sa mga antas.
Exponentiation
Ano ang mangyayari kung ang square root ay squared? Ito ay simple, tandaan ang kahulugan ng square root ng isang numero - ito ay isang numero na ang square root ay katumbas ng.
Kaya, kung i-square natin ang isang numero na ang square root ay katumbas, ano ang makukuha natin?
Aba, syempre,!
Tingnan natin ang mga halimbawa:
Simple lang diba? Paano kung ang ugat ay nasa ibang antas? ayos lang!
Sundin ang parehong lohika at tandaan ang mga katangian at posibleng mga aksyon na may mga degree.
Basahin ang teorya sa paksang "" at ang lahat ay magiging malinaw sa iyo.
Halimbawa, narito ang isang expression:
Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng mga exponents at i-factor ang lahat:
Ang lahat ay tila malinaw dito, ngunit paano i-extract ang ugat ng isang numero sa isang kapangyarihan? Narito, halimbawa, ito:
Medyo simple, tama? Paano kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng mga degree:
Well, malinaw na ba ang lahat? Pagkatapos ay lutasin ang mga halimbawa sa iyong sarili:
At narito ang mga sagot:
Pagpasok sa ilalim ng tanda ng ugat
Ano ang hindi natin natutunang gawin sa mga ugat! Ang natitira na lang ay ang pagsasanay sa pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign!
Ito ay talagang madali!
Sabihin nating mayroon tayong nakasulat na numero
Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang tatlo sa ilalim ng ugat, remembering na ang tatlo ay ang square root ng!
Bakit kailangan natin ang mga ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:
Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawa ba nitong mas madali ang buhay? Para sa akin, tama na! Tanging Dapat nating tandaan na maaari lamang tayong magpasok ng mga positibong numero sa ilalim ng square root sign.
Lutasin ang halimbawang ito sa iyong sarili -
Inayos mo ba? Tingnan natin kung ano ang dapat mong makuha:
Magaling! Nagawa mong ipasok ang numero sa ilalim ng root sign! Lumipat tayo sa isang bagay na pantay na mahalaga - tingnan natin kung paano ihambing ang mga numerong naglalaman ng square root!
Paghahambing ng mga ugat
Bakit kailangan nating matutong ihambing ang mga numero na naglalaman ng square root?
Napakasimple. Kadalasan, sa malalaki at mahabang ekspresyong nakatagpo sa pagsusulit, nakakatanggap tayo ng hindi makatwiran na sagot (tandaan kung ano ito? Napag-usapan na natin ito ngayon!)
Kailangan nating ilagay ang mga natanggap na sagot sa linya ng coordinate, halimbawa, upang matukoy kung aling pagitan ang angkop para sa paglutas ng equation. At dito lumitaw ang problema: walang calculator sa pagsusulit, at kung wala ito, paano mo maiisip kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas mababa? Ayan yun!
Halimbawa, tukuyin kung alin ang mas malaki: o?
Hindi mo masasabi kaagad. Well, gamitin natin ang disassembled property ng pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign?
Pagkatapos ay magpatuloy:
Well, malinaw naman, mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo!
Yung. kung, kung gayon, .
Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon. At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!
Pagkuha ng mga ugat mula sa malalaking numero
Bago ito, nagpasok kami ng isang multiplier sa ilalim ng tanda ng ugat, ngunit paano ito aalisin? Kailangan mo lang i-factor ito sa mga factor at i-extract ang iyong na-extract!
Posibleng kumuha ng ibang landas at palawakin sa iba pang mga salik:
Hindi masama, tama? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya ayon sa gusto mo.
Ang pag-factor ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang problema tulad nito:
Huwag tayong matakot, ngunit kumilos! I-decompose natin ang bawat salik sa ilalim ng ugat sa magkakahiwalay na salik:
Ngayon subukan ito sa iyong sarili (nang walang calculator! Wala ito sa pagsusulit):
Ito na ba ang wakas? Huwag tayong huminto sa kalagitnaan!
Yun nga lang, hindi naman nakakatakot diba?
Nangyari? Magaling, tama iyan!
Ngayon subukan ang halimbawang ito:
Ngunit ang halimbawa ay isang matigas na mani na pumutok, kaya't hindi mo agad maisip kung paano ito lapitan. Pero, siyempre, kakayanin natin.
Well, simulan natin ang factoring? Tandaan natin kaagad na maaari mong hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng (tandaan ang mga palatandaan ng divisibility):
Ngayon, subukan ito sa iyong sarili (muli, nang walang calculator!):
Well, gumana ba ito? Magaling, tama iyan!
Isa-isahin natin
- Ang square root (arithmetic square root) ng isang di-negatibong numero ay isang hindi-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng.
. - Kung kukunin lang natin ang square root ng isang bagay, palagi tayong nakakakuha ng isang hindi negatibong resulta.
- Mga katangian ng isang arithmetic root:
- Kapag inihambing ang mga square root, kinakailangang tandaan na mas malaki ang numero sa ilalim ng root sign, mas malaki ang ugat mismo.
Kumusta ang square root? Malinaw ang lahat?
Sinubukan naming ipaliwanag sa iyo nang walang anumang pagkabahala ang lahat ng kailangan mong malaman sa pagsusulit tungkol sa square root.
Ikaw na. Sumulat sa amin kung ang paksang ito ay mahirap para sa iyo o hindi.
May bago ka bang natutunan o malinaw na ba ang lahat?
Sumulat sa mga komento at good luck sa iyong mga pagsusulit!
Ang materyal sa artikulong ito ay dapat isaalang-alang bilang bahagi ng pagbabago ng paksa ng mga hindi makatwirang ekspresyon. Dito gagamitin namin ang mga halimbawa upang pag-aralan ang lahat ng mga subtleties at nuances (kung saan marami) na lumitaw kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo batay sa mga katangian ng mga ugat.
Pag-navigate sa pahina.
Alalahanin natin ang mga katangian ng mga ugat
Dahil malapit na nating harapin ang pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga ugat, hindi masakit na alalahanin ang mga pangunahing, o mas mabuti, isulat ang mga ito sa papel at ilagay ang mga ito sa harap mo.
Una, pinag-aaralan ang mga square root at ang mga sumusunod na katangian nito (a, b, a 1, a 2, ..., a k ay mga tunay na numero):
At kalaunan ang ideya ng isang ugat ay pinalawak, ang kahulugan ng isang ugat ng ika-n degree ay ipinakilala, at ang mga sumusunod na katangian ay isinasaalang-alang (a, b, a 1, a 2, ..., a k ay tunay na mga numero, m, n, n 1, n 2, ... , n k - natural na mga numero):
Pag-convert ng mga expression na may mga numero sa ilalim ng mga radikal na palatandaan
Gaya ng dati, natututo muna silang gumawa ng mga numerical na expression, at pagkatapos lamang nito ay lumipat sila sa mga expression na may mga variable. Gagawin natin ang pareho, at una ay haharapin natin ang pagbabagong-anyo ng mga hindi makatwiran na expression na naglalaman lamang ng mga numerical na expression sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat, at pagkatapos ay sa susunod na talata ay ipakikilala natin ang mga variable sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat.
Paano ito magagamit upang baguhin ang mga expression? Ito ay napaka-simple: halimbawa, maaari naming palitan ang isang hindi makatwiran na expression ng isang expression o vice versa. Iyon ay, kung ang expression na kino-convert ay naglalaman ng isang expression na tumutugma sa hitsura ng expression mula sa kaliwa (kanan) na bahagi ng alinman sa mga nakalistang katangian ng mga ugat, maaari itong mapalitan ng kaukulang expression mula sa kanan (kaliwa) na bahagi. Ito ang pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng mga ugat.
Magbigay tayo ng ilan pang halimbawa.
Pasimplehin natin ang expression 
. Ang mga numero 3, 5 at 7 ay positibo, kaya ligtas nating mailapat ang mga katangian ng mga ugat. Dito maaari kang kumilos sa iba't ibang paraan. Halimbawa, ang isang ugat batay sa isang ari-arian ay maaaring katawanin bilang , at ang isang ugat na gumagamit ng isang katangian na may k=3 - bilang , sa pamamaraang ito ang solusyon ay magiging ganito: 
Maaaring gawin ito ng isang tao sa ibang paraan sa pamamagitan ng pagpapalit ng , at pagkatapos ay sa , kung saan ang solusyon ay magiging ganito: 
Posible ang iba pang mga solusyon, halimbawa:
Tingnan natin ang solusyon sa isa pang halimbawa. Ibahin natin ang ekspresyon. Sa pagtingin sa listahan ng mga katangian ng mga ugat, pipiliin namin mula dito ang mga katangian na kailangan namin upang malutas ang halimbawa, malinaw na ang dalawa sa kanila ay kapaki-pakinabang dito at , na wasto para sa anumang a . Meron kami: 
Bilang kahalili, maaari munang baguhin ng isa ang mga radikal na expression gamit 
at pagkatapos ay ilapat ang mga katangian ng mga ugat
Hanggang sa puntong ito, na-convert namin ang mga expression na naglalaman lamang ng mga square root. Panahon na upang magtrabaho sa mga ugat na may iba't ibang mga tagapagpahiwatig.
Halimbawa.
I-convert ang hindi makatwirang pagpapahayag 
.
Solusyon.
Sa pamamagitan ng ari-arian 
ang unang salik ng isang naibigay na produkto ay maaaring mapalitan ng numero −2: 
Sige lang. Sa bisa ng ari-arian, ang pangalawang kadahilanan ay maaaring katawanin bilang , at hindi masasaktan na palitan ang 81 ng isang quadruple na kapangyarihan ng tatlo, dahil sa natitirang mga kadahilanan ang numero 3 ay lilitaw sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat: 
Maipapayo na palitan ang ugat ng isang fraction na may ratio ng mga ugat ng anyo , na maaaring mabago pa: 
. Meron kami
Pagkatapos magsagawa ng mga operasyon na may dalawa, ang magreresultang expression ay kukuha ng anyo , at ang natitira na lang ay baguhin ang produkto ng mga ugat.
Upang ibahin ang anyo ng mga produkto ng mga ugat, kadalasang binabawasan sila sa isang tagapagpahiwatig, kung saan ipinapayong kunin ang mga tagapagpahiwatig ng lahat ng mga ugat. Sa aming kaso, LCM(12, 6, 12) = 12, at ang ugat lamang ang kailangang bawasan sa tagapagpahiwatig na ito, dahil ang iba pang dalawang ugat ay mayroon nang ganoong tagapagpahiwatig. Ang pagkakapantay-pantay, na inilalapat mula kanan hanggang kaliwa, ay nagpapahintulot sa amin na makayanan ang gawaing ito. Kaya . Isinasaalang-alang ang resultang ito, mayroon kami 
Ngayon ang produkto ng mga ugat ay maaaring mapalitan ng ugat ng produkto at gawin ang natitirang, halata na, mga pagbabagong-anyo: 
Sumulat tayo ng maikling bersyon ng solusyon: 
Sagot:
.
Binibigyang-diin namin nang hiwalay na upang mailapat ang mga katangian ng mga ugat, kinakailangang isaalang-alang ang mga paghihigpit na ipinataw sa mga numero sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat (a≥0, atbp.). Ang hindi pagpansin sa mga ito ay maaaring magdulot ng mga maling resulta. Halimbawa, alam namin na ang ari-arian ay humahawak para sa hindi negatibong a . Batay dito, madali tayong makagalaw, halimbawa, mula sa, dahil ang 8 ay isang positibong numero. Ngunit kung kukuha tayo ng isang makabuluhang ugat ng isang negatibong numero, halimbawa, at, batay sa property na nakasaad sa itaas, palitan ito ng , pagkatapos ay talagang papalitan natin ang −2 ng 2. Talaga, ah. Iyon ay, para sa negatibong a ang pagkakapantay-pantay ay maaaring hindi tama, tulad ng iba pang mga katangian ng mga ugat ay maaaring hindi tama nang hindi isinasaalang-alang ang mga kundisyon na tinukoy para sa kanila.
Ngunit ang sinabi sa nakaraang talata ay hindi nangangahulugan na ang mga expression na may negatibong mga numero sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat ay hindi maaaring mabago gamit ang mga katangian ng mga ugat. Kailangan lang nilang "ihanda" muna sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan para sa pagpapatakbo gamit ang mga numero o paggamit ng kahulugan ng isang kakaibang ugat ng isang negatibong numero, na tumutugma sa pagkakapantay-pantay , kung saan ang −a ay isang negatibong numero (habang ang a ay positibo). Halimbawa, hindi ito agad mapapalitan ng , dahil ang −2 at −3 ay mga negatibong numero, ngunit pinapayagan tayo nitong lumipat mula sa ugat patungo sa , at pagkatapos ay higit pang ilapat ang katangian ng ugat ng isang produkto: 
. At sa isa sa mga naunang halimbawa, kinakailangan na lumipat mula sa ugat hanggang sa ugat ng ikalabing walong antas hindi tulad nito, ngunit tulad nito 
.
Kaya, upang baguhin ang mga expression gamit ang mga katangian ng mga ugat, kailangan mo
- piliin ang naaangkop na ari-arian mula sa listahan,
- siguraduhin na ang mga numero sa ilalim ng ugat ay nakakatugon sa mga kondisyon para sa napiling pag-aari (kung hindi, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago),
- at isakatuparan ang nilalayong pagbabago.
Pag-convert ng mga expression na may mga variable sa ilalim ng mga radikal na palatandaan
Upang mabago ang mga hindi makatwirang expression na naglalaman ng hindi lamang mga numero kundi pati na rin ang mga variable sa ilalim ng root sign, ang mga katangian ng mga ugat na nakalista sa unang talata ng artikulong ito ay dapat na maingat na mailapat. Ito ay kadalasang dahil sa mga kundisyon na dapat matugunan ng mga numerong kasama sa mga formula. Halimbawa, batay sa formula, ang expression ay maaaring palitan ng isang expression para lamang sa mga halaga ng x na nakakatugon sa mga kondisyon x≥0 at x+1≥0, dahil ang tinukoy na formula ay tinukoy para sa a≥0 at b ≥0.
Ano ang mga panganib ng hindi pagpansin sa mga kundisyong ito? Ang sagot sa tanong na ito ay malinaw na ipinakita ng sumusunod na halimbawa. Sabihin nating kailangan nating kalkulahin ang halaga ng isang expression sa x=−2. Kung agad nating papalitan ang numero −2 sa halip na ang variable na x, makukuha natin ang halaga na kailangan natin 
. Ngayon isipin natin na, batay sa ilang mga pagsasaalang-alang, na-convert namin ang ibinigay na expression sa form , at pagkatapos lamang na nagpasya kaming kalkulahin ang halaga. Pinapalitan namin ang numero −2 para sa x at dumating sa expression 
, na walang katuturan.
Tingnan natin kung ano ang mangyayari sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga (APV) ng variable x kapag lumilipat mula sa expression patungo sa expression. Hindi nagkataon na binanggit namin ang ODZ, dahil ito ay isang seryosong tool para sa pagsubaybay sa pagiging matanggap ng mga pagbabagong ginawa, at ang pagbabago sa ODZ pagkatapos ng pagbabago ng isang expression ay dapat, sa pinakamababa, magtaas ng mga pulang bandila. Ang paghahanap ng ODZ para sa mga expression na ito ay hindi mahirap. Para sa expression na ODZ ay tinutukoy mula sa hindi pagkakapantay-pantay x·(x+1)≥0, ang solusyon nito ay nagbibigay ng numerical set (−∞, −1]∪∪∪
Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat na kadahilanan ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.
Mga halimbawa. Tingnan natin ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa tayo mismo ay nakuha ang mga ugat ng 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang mga bagay ay magiging matigas: $\sqrt(32)$ at $\sqrt(2)$ ay hindi isinasaalang-alang ng kanilang mga sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang perpektong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.
Gusto ko lalo na i-highlight ang huling linya. Doon, ang parehong mga radikal na expression ay mga fraction. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nakansela, at ang buong expression ay nagiging isang sapat na numero.
Siyempre, ang mga bagay ay hindi palaging magiging napakaganda. Minsan magkakaroon ng kumpletong dumi sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano ito baguhin pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya, kapag sinimulan mong pag-aralan ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function. At napakadalas, umaasa ang mga manunulat ng problema sa katotohanan na matutuklasan mo ang ilang mga termino o salik sa pagkansela, pagkatapos nito ang problema ay pasimplehin nang maraming beses.
Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na magparami ng eksaktong dalawang ugat. Maaari kang magparami ng tatlo, apat, o kahit sampu nang sabay-sabay! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]
At muli isang maliit na tala sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa ikatlong kadahilanan sa ilalim ng ugat mayroong isang decimal na bahagi - sa proseso ng mga kalkulasyon pinapalitan namin ito ng isang regular, pagkatapos nito ang lahat ay madaling nabawasan. Kaya: Lubos kong inirerekumenda na alisin ang mga decimal fraction sa anumang hindi makatwiran na mga expression (ibig sabihin, naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na simbolo). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at nerbiyos sa hinaharap.
Ngunit ito ay isang lyrical digression. Ngayon isaalang-alang natin ang isang mas pangkalahatang kaso - kapag ang root exponent ay naglalaman ng isang di-makatwirang numero na $n$, at hindi lamang ang "klasikal" na dalawa.
Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig
Kaya, inayos namin ang mga square root. Ano ang gagawin sa mga kubiko? O kahit na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:
Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radical expression, at pagkatapos ay isulat ang resulta sa ilalim ng isang radical.
Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban na ang halaga ng mga kalkulasyon ay maaaring mas malaki. Tingnan natin ang ilang halimbawa:
Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]
At muli, pansin ang pangalawang ekspresyon. Pinaparami namin ang mga ugat ng kubo, inaalis ang bahagi ng decimal at nauuwi sa denominator ang produkto ng mga numerong 625 at 25. Ito ay isang malaking bilang - sa personal, hindi ko personal na malaman kung ano ang katumbas nito mula sa itaas ng ulo ko.
Samakatuwid, ibinukod lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, kahulugan) ng $n$th na ugat:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kaliwa| isang\kanan|. \\ \end(align)\]
Ang ganitong mga "machinations" ay maaaring makatipid sa iyo ng maraming oras sa isang pagsusulit o pagsubok, kaya tandaan:
Huwag magmadali sa pagpaparami ng mga numero gamit ang mga radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?
Sa kabila ng kaliwanagan ng pangungusap na ito, dapat kong aminin na ang karamihan sa mga hindi handa na mga mag-aaral ay hindi nakikita ang eksaktong mga antas sa point-blank na hanay. Sa halip, pinarami nila ang lahat nang tahasan, at pagkatapos ay nagtataka: bakit sila nakakuha ng mga brutal na numero? :)
Gayunpaman, ang lahat ng ito ay baby talk kumpara sa pag-aaralan natin ngayon.
Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponents
Okay, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat na may parehong mga tagapagpahiwatig. Paano kung magkaiba ang mga indicator? Sabihin natin, kung paano i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt(2)$ ng ilang crap tulad ng $\sqrt(23)$? Posible bang gawin ito?
Oo syempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:
Panuntunan para sa pagpaparami ng mga ugat. Upang i-multiply ang $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, sapat na upang isagawa ang sumusunod na pagbabago:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang tala na babalikan natin mamaya.
Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]
Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nanggaling ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabagin natin ito. :)
Ang pagpaparami ng mga ugat ay madali Bakit dapat hindi negatibo ang mga radikal na pagpapahayag?
Siyempre, maaari kang maging tulad ng mga guro sa paaralan at banggitin ang aklat-aralin na may matalinong hitsura:
Ang pangangailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang mga kahulugan ng mga ugat ng pantay at kakaibang antas (ayon dito, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay magkakaiba din).
Well, naging mas malinaw ba? Sa personal, noong binasa ko ang kalokohang ito noong ika-8 baitang, naunawaan ko ang isang bagay tulad ng sumusunod: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)~%" - sa madaling salita, ginawa ko Hindi ko maintindihan ang isang bagay sa oras na iyon. :)
Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.
Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Sa madaling salita, madali nating itaas ang radikal na pagpapahayag sa anumang natural na kapangyarihan $k$ - sa kasong ito, ang exponent ng ugat ay kailangang i-multiply sa parehong kapangyarihan. Samakatuwid, madali nating bawasan ang anumang mga ugat sa isang karaniwang exponent, at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito. Dito nagmula ang multiplication formula:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Ngunit mayroong isang problema na mahigpit na naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:
Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Inalis namin ang minus nang tumpak dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na antas). Ngayon, gawin natin ang reverse transformation: "bawasan" ang dalawa sa exponent at power. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay mababasa mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]
Ngunit pagkatapos ito ay naging isang uri ng kalokohan:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Hindi ito maaaring mangyari, dahil $\sqrt(-5) \lt 0$, at $\sqrt(5) \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at negatibong mga numero ang aming formula ay hindi na gumagana. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:
- Upang tumama sa pader at sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ang mga ito ay hindi tumpak";
- Ipakilala ang mga karagdagang paghihigpit kung saan ang formula ay magiging 100% gumagana.
Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - ito ay mahirap, nakakaubos ng oras at sa pangkalahatan ay ugh. Samakatuwid, ginusto ng mga mathematician ang pangalawang opsyon. :)
Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang limitasyong ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng mga problema na inilarawan ay nag-aalala lamang sa mga ugat ng kakaibang antas, at ang mga minus ay maaaring makuha mula sa kanila.
Samakatuwid, bumalangkas tayo ng isa pang panuntunan, na karaniwang nalalapat sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:
Bago magparami ng mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.
Halimbawa. Sa numerong $\sqrt(-5)$ maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - kung gayon ang lahat ay magiging normal:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? Kung nag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay parisukat, ito ay mawawala, at ang crap ay magsisimula. At kung aalisin mo muna ang minus, maaari mong kuwadrado/alisin hanggang sa maging asul ka sa mukha - mananatiling negatibo ang numero. :)
Kaya, ang pinaka tama at pinaka-maaasahang paraan ng pagpaparami ng mga ugat ay ang mga sumusunod:
- Alisin ang lahat ng mga negatibo mula sa mga radikal. Ang mga minus ay umiiral lamang sa mga ugat ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
- Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho, pinaparami lang natin ang mga radikal na expression. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Tangkilikin ang resulta at magagandang marka. :)
Well? Magpractice ba tayo?
Halimbawa 1: Pasimplehin ang expression:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga ugat ay pareho at kakaiba, ang tanging problema ay ang pangalawang kadahilanan ay negatibo. Kinukuha namin ang minus na ito sa larawan, pagkatapos ay madaling kalkulahin ang lahat.
Halimbawa 2: Pasimplehin ang expression:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ihanay)\]
Dito, marami ang malito sa katotohanan na ang output ay naging isang hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na maalis ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang expression.
Halimbawa 3: Pasimplehin ang expression:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Nais kong iguhit ang iyong pansin sa gawaing ito. Mayroong dalawang puntos dito:
- Ang ugat ay hindi isang tiyak na numero o kapangyarihan, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nilutas ang mga problema sa matematika, madalas mong kailangang harapin ang mga variable.
- Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang radikal na tagapagpahiwatig at ang antas ng radikal na pagpapahayag. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo ginamit ang pangunahing formula.
Halimbawa, maaari mong gawin ito:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]
Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay ginanap lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo inilalarawan nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa dulo ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang bawasan.
Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas nang malutas namin ang halimbawang $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ngayon ay maaari itong isulat nang mas simple:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]
Buweno, inayos namin ang pagpaparami ng mga ugat. Ngayon isaalang-alang natin ang reverse operation: ano ang gagawin kapag may produkto sa ilalim ng ugat?
ugatn-th degree at ang mga pangunahing katangian nito
Degree totoong numero A na may natural na tagapagpahiwatig P may trabaho P mga kadahilanan, na ang bawat isa ay pantay A:
a1 = a; a2 =a·a; A n =
Halimbawa,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 beses
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 na beses
Totoong numero A tinawag ang batayan ng antas, at ang natural na bilang n ay exponent.
Ang mga pangunahing katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent ay direktang sumusunod sa kahulugan: kapangyarihan ng isang positibong numero sa alinman P e N positibo; Ang kapangyarihan ng isang negatibong numero na may even exponent ay positibo, na may kakaibang exponent ito ay negatibo.
Halimbawa,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Ang mga pagkilos na may mga degree ay isinasagawa bilang mga sumusunod: mga tuntunin.
1. Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong mga base, sapat na upang idagdag ang mga exponents ng mga kapangyarihan at iwanan ang base na pareho, iyon ay
Halimbawa, p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong mga base, sapat na upang ibawas ang exponent ng divisor mula sa index ng dibidendo at iwanan ang base na pareho, iyon ay
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Upang itaas ang isang antas sa isang kapangyarihan, sapat na upang i-multiply ang mga exponents, na iniiwan ang base na pareho, iyon ay
(ap)m = sa·p. Halimbawa, (23)2 = 26.
4. Upang itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang bawat kadahilanan sa kapangyarihang ito at i-multiply ang mga resulta, iyon ay
(A b)P= ap∙bP.
Halimbawa, (2у3)2= 4y6.
5. Upang itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang numerator at denominator nang hiwalay sa kapangyarihang ito at hatiin ang unang resulta sa pangalawa, iyon ay
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Tandaan na minsan ay kapaki-pakinabang na basahin ang mga formula na ito mula kanan pakaliwa. Sa kasong ito sila ay nagiging mga panuntunan. Halimbawa, sa kaso 4, apvp= (av)p nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: sa Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong mga exponent, sapat na upang i-multiply ang mga base, na iniiwan ang exponent na pareho.
Ang paggamit ng panuntunang ito ay epektibo, halimbawa, kapag kinakalkula ang sumusunod na produkto
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Ibigay natin ngayon ang kahulugan ng isang ugat.
nth root ng isang tunay na numero A tinatawag na tunay na numero X, ang nth kapangyarihan ng kung saan ay katumbas ng A.
Malinaw, alinsunod sa mga pangunahing katangian ng mga kapangyarihan na may natural na exponents, mula sa anumang positibong numero mayroong dalawang magkasalungat na halaga ng ugat ng isang pantay na kapangyarihan, halimbawa, ang mga numero 4 at -4 ay mga square root ng 16, dahil ( -4)2 = 42 = 16, at ang mga numero 3 at -3 ay ang ikaapat na ugat ng 81, dahil (-3)4 = 34 = 81.
Gayundin, walang kahit na ugat ng isang negatibong numero dahil ang kahit na kapangyarihan ng anumang tunay na numero ay hindi negatibo. Tulad ng para sa kakaibang ugat, para sa anumang tunay na numero mayroon lamang isang kakaibang ugat ng numerong iyon. Halimbawa, ang 3 ay ang ikatlong ugat ng 27, dahil ang 33 = 27, at -2 ang ikalimang ugat ng -32, dahil ang (-2)5 = 32.
Dahil sa pagkakaroon ng dalawang even-degree na ugat ng isang positibong numero, ipinakilala namin ang konsepto ng isang arithmetic root upang maalis ang kalabuan ng ugat.
Ang di-negatibong halaga ng ika-n ugat ng isang hindi negatibong numero ay tinatawag ugat ng aritmetika.
Halimbawa, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Dapat tandaan na kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ang kanilang mga ugat ay palaging itinuturing na aritmetika.
Tandaan natin ang pangunahing pag-aari ng nth root.
Ang laki ng ugat ay hindi magbabago kung ang mga tagapagpahiwatig ng ugat at ang antas ng radikal na expression ay pinarami o hinati sa parehong natural na numero, iyon ay
Halimbawa 7. Bawasan sa isang karaniwang denominador at